Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2022

P3. Consideremos un modelo clásico del átomo de hidrógeno consistente en un electrón en órbita circular, de radio $\mathrm{5,3}\cdot {10}^{-11}\text{ m}$, alrededor de un protón en el núcleo.

a) ¿Cuántas veces es mayor la energía potencial eléctrica que la gravitatoria del sistema protón-electrón? (1 punto)

Si despreciamos la interacción gravitatoria en lo que sigue, determinar:

b) La velocidad del electrón en la órbita circular y su longitud de onda de De Broglie. (1 punto)

c) El campo magnético que siente el protón. (1 punto)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$; carga del electrón $=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; masa del electrón $=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; masa del protón $=\mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; ${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$; ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\text{ T}\text{m}{\text{A}}^{-1}$; constante de Planck $=\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\text{ kg}{\text{m}}^2{\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n-electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Ambas energías potenciales dependen del inverso de la distancia, de manera que al hacer el cociente el radio se cancela y el resultado no depende del tamaño de la órbita:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{E}_{p,e}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{E}_{p,g}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{e}^2}{G{m}_p{m}_e}}$

Sustituimos los datos:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{E}_{p,e}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{E}_{p,g}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot (\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}{)}^2}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{E}_{p,e}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{E}_{p,g}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,30}\cdot {10}^{-28}}{\mathrm{1,03}\cdot {10}^{-67}}}=\mathrm{2,23}\cdot {10}^{39}$

La interacción eléctrica es $\mathrm{2,23}\cdot {10}^{39}$ veces mayor que la gravitatoria, lo que justifica sobradamente despreciar la gravedad en el resto del problema.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Broglie.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La fuerza de Coulomb hace de fuerza centrípeta y mantiene al electrón en su órbita:

${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{e^2}{r^2}}={\displaystyle \frac{m_e{v}^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{e^2}{m_{e}r}}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot (\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}{)}^2}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{5,3}\cdot {10}^{-11}}}}=\mathrm{2,19}\cdot {10}^6\text{ m/s}$

La longitud de onda de de Broglie asociada es:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{m_{e}v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{2,19}\cdot {10}^6}}=\mathrm{3,32}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$

Conviene fijarse en que ese valor coincide prácticamente con la longitud de la órbita, $2\pi r=\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$: la circunferencia contiene exactamente una longitud de onda, que es la condición de cuantización del primer nivel de Bohr.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{siente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El electrón girando equivale a una espira circular recorrida por una corriente, y el protón se encuentra justo en su centro. La corriente equivalente es la carga que pasa por un punto en cada periodo:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}=\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-16}\text{ s}$

$I={\displaystyle \frac{e}{T}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-16}}}=\mathrm{1,05}\cdot {10}^{-3}\text{ A}$





El campo en el centro de una espira circular vale:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2r}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot \mathrm{1,05}\cdot {10}^{-3}}{2\cdot \mathrm{5,3}\cdot {10}^{-11}}}$

$B=\mathrm{12,4}\text{ T}$

El protón soporta un campo magnético de unos $\mathrm{12,4}\text{ T}$, perpendicular al plano de la órbita: un valor altísimo, comparable al de los electroimanes más potentes de laboratorio. Conviene notar que, al ser el electrón una carga negativa, la corriente convencional circula en sentido contrario a su velocidad.