Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2021

C4. La proporción de carbono-14 en la madera de un sarcófago egipcio es un 60% del que tenía originalmente. Sabiendo que el periodo de semidesintegración (o semiperiodo) del carbono-14 es 5730 años, determinar la edad del sarcófago. (1 punto)

$\mathbf{\text{C4.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{carbono-14}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{madera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sarc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{fago}}\mathbf{\text{egipcio}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\%}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{originalmente.}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{carbono-14}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{5730}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sarc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{fago.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El carbono-14 se desintegra siguiendo la ley de la desintegración radiactiva, según la cual el número de núcleos sin desintegrar disminuye exponencialmente con el tiempo:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

Relacionamos primero la constante de desintegración con el periodo de semidesintegración, imponiendo que la muestra se reduzca a la mitad:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{5730}}=\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$










El enunciado da la fracción que queda, $N\mathrm{/}{N}_0=\mathrm{0,60}$. Tomando logaritmos neperianos en la ley de desintegración y despejando el tiempo:

$t=-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln {\displaystyle \frac{N}{N_0}}$





Sustituimos:

$t=-{\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{0,60})}{\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,511}}{\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}}}=\mathrm{4,22}\cdot {10}^3\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

El sarcófago tiene unos $4220\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$. El resultado es coherente: como aún queda más de la mitad del carbono-14 original, la edad tiene que ser menor que un periodo de semidesintegración, y en efecto $4220$ años son menos que los $5730$ que harían falta para reducirla a la mitad.