Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Región de Murcia · 2020

P3. (3 puntos)

Se cree que el sonido propagado por el aire en la explosión del volcán Krakatoa en $1883$ ha sido el más intenso jamás producido en la historia del hombre. A $160\text{ km}$ de distancia de la explosión se detectó sonido de $20\text{ Hz}$ de frecuencia y $170\text{ dB}$ de nivel de intensidad sonora.

a) Determinar la longitud de onda. (1 punto)

b) Calcular la potencia emitida en forma de sonido en la explosión. (1 punto)

c) Suponiendo que una onda esférica y que se propagara en un espacio de aire ilimitado, ¿cuál sería la distancia máxima a la que un ser humano lo habría escuchado? En realidad se detectó sonido a $5000\text{ km}$ de distancia máxima, ¿puede explicar algún motivo para la gran discrepancia entre este valor y el que usted ha obtenido? (1 punto)

Datos: $I_0={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Por la ecuación fundamental de las ondas, la longitud de onda es el cociente entre la velocidad de propagación y la frecuencia. Tomamos para el sonido en el aire $v=340\text{ m/s}$.

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{340\text{ m/s}}{20\text{ Hz}}}=17\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{emitida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{explosi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Obtenemos primero la intensidad a $160\text{ km}$ a partir del nivel de intensidad sonora, definido en decibelios respecto al umbral de audición.

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}\Rightarrow I=I_0{10}^{\beta \mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^{17}={10}^5{\text{W/m}}^2$










Suponiendo la onda esférica, la energía se reparte por igual sobre la superficie de una esfera de radio $r$, lo que liga la intensidad con la potencia emitida.

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}$





Despejamos la potencia y sustituimos con $r=\mathrm{1,6}\cdot {10}^5\text{ m}$.

$P=I4\pi r^2={10}^5\cdot 4\pi (\mathrm{1,6}\cdot {10}^5{)}^2=\mathrm{3,22}\cdot {10}^{16}\text{ W}$

Es una potencia colosal, de orden muy superior al de cualquier fuente sonora conocida.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{esf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propagara}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{espacio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{ilimitado,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{humano}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{escuchado?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{realidad}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{detect}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">5000</mn><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima,}}\mathbf{\text{¿puede}}\mathbf{\text{explicar}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{motivo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gran}}\mathbf{\text{discrepancia?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El umbral de audición humana corresponde a la intensidad de referencia $I_0={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$, es decir, a $0\text{ dB}$. La distancia máxima es aquella a la que la intensidad cae justo hasta ese umbral, conservándose la potencia.

$r_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{P}{4\pi I_0}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{3,22}\cdot {10}^{16}}{4\pi \cdot {10}^{-12}}}}=\mathrm{5,06}\cdot {10}^{13}\text{ m}$

Son unos $5\cdot {10}^{10}\text{ km}$, un valor físicamente absurdo: supera con mucho el tamaño de la Tierra, cuya circunferencia mide solo $4\cdot {10}^4\text{ km}$, e incluso las dimensiones del Sistema Solar. La discrepancia con los $5000\text{ km}$ reales procede de las hipótesis del modelo, que supone un medio ilimitado, homogéneo y sin pérdidas en el que la intensidad solo disminuye por dispersión geométrica. En la realidad el aire absorbe parte de la energía sonora y la disipa en forma de calor por viscosidad y conducción térmica, y a ello se suman el espesor finito de la atmósfera, la curvatura de la Tierra, el viento y los gradientes de temperatura y presión, que refractan y desvían el sonido. Por todo ello la onda se extingue muchísimo antes de lo que predice el cálculo ideal.