Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2020

P4. Iluminamos una medalla de oro y una de plata de los juegos olímpicos de Tokio, aplazados por la Covid-19, con luz de $250\text{ nm}$ y una intensidad de $10{\text{W/m}}^2$, que es la radiación ultravioleta más energética del espectro solar que llega a la superficie de la Tierra. El trabajo de extracción (o función trabajo) del oro y la plata son $\mathrm{5,10}\text{ eV}$ y $\mathrm{4,73}\text{ eV}$ respectivamente.

a) Calcular la frecuencia y la energía de un fotón de la luz incidente. (1 punto)

b) Si la superficie de las medallas es de $10{\text{cm}}^2$, calcular el número de fotones por unidad de tiempo que inciden sobre una medalla. (1 punto)

c) Razonar cuantitativamente en cuál de las dos medallas se arrancarán electrones y si veríamos más electrones. ¿Cambiarían las conclusiones si se duplicara la intensidad de la radiación incidente? (1 punto)

Datos: $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$; masa del electrón $=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{fot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{incidente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La luz tiene una longitud de onda de $250\text{ nm}=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$. Como $c=\lambda \nu$:

$\nu ={\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-7}}}=\mathrm{1,2}\cdot {10}^{15}\text{ Hz}$

La energía de cada fotón la da la relación de Planck:

$E=h\nu =\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{1,2}\cdot {10}^{15}=\mathrm{7,96}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Conviene expresarla también en electronvoltios, que es la unidad en que viene dado el trabajo de extracción:

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{7,96}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{4,97}\text{ eV}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{medallas}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mtext> </mtext><msup><mtext>cm</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msup></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{unidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{inciden}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{medalla.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La intensidad es la potencia por unidad de superficie, de modo que la potencia luminosa que recibe la medalla es:

$P=I\cdot S=10\cdot {10}^{-3}={10}^{-2}\text{ W}$

donde se ha pasado la superficie al Sistema Internacional, $10{\text{cm}}^2={10}^{-3}{\text{m}}^2$. Si llegan $n$ fotones por segundo, cada uno con la energía calculada antes:

$n={\displaystyle \frac{P}{E}}={\displaystyle \frac{{10}^{-2}}{\mathrm{7,96}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{1,26}\cdot {10}^{16}\text{ fotones/s}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Razonar}}\mathbf{\text{cuantitativamente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{medallas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{arrancar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{electrones.}}\mathbf{\text{¿Cambiar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{conclusiones}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{duplicara}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{incidente?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Un fotón arranca un electrón solo si su energía iguala o supera el trabajo de extracción del metal. Comparamos los $\mathrm{4,97}\text{ eV}$ del fotón con cada uno:

$\text{oro: }\mathrm{4,97}<\mathrm{5,10}\text{ eV}\text{plata: }\mathrm{4,97}>\mathrm{4,73}\text{ eV}$





En la medalla de oro no se arranca ningún electrón, pues a cada fotón le faltan $\mathrm{0,13}\text{ eV}$. En la de plata sí los hay, y el exceso de energía aparece como energía cinética del fotoelectrón:

$E_c=E-W_{\text{Ag}}=\mathrm{4,97}-\mathrm{4,73}=\mathrm{0,24}\text{ eV}=\mathrm{3,88}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$

lo que corresponde a una velocidad de salida

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_c}{m_e}}}=\mathrm{2,9}\cdot {10}^5\text{ m/s}$

Si se duplicara la intensidad llegaría el doble de fotones por segundo, unos $\mathrm{2,5}\cdot {10}^{16}$, pero la energía de cada fotón no cambiaría, porque depende solo de la frecuencia. El oro seguiría sin emitir y la plata emitiría el doble de electrones por segundo, aunque con la misma energía cinética máxima. Las conclusiones sobre qué medalla emite, por tanto, no cambian: es justamente lo que la física clásica no lograba explicar y lo que resolvió la hipótesis de los fotones.