Matemáticas I · Ecuaciones logarítmicas

Ejercicio resuelto de Ecuaciones logarítmicas · Matemáticas I

Halla el valor de x:

log⁡(22−x)x+log⁡1250=4

Solución

Resolvemos log⁡(22−x)2+x+log⁡1250=4

Usamos las propiedades de los logaritmos:

log⁡(22−x)2+x=log⁡(2(2−x)(2+x))

Entonces:

log⁡(2(2−x)(2+x))+log⁡1250=4

log⁡(1250⋅2(2−x)(2+x))=4

Pasamos a forma exponencial:

104=1250⋅2(2−x)(2+x)

Como 104=24⋅54 y 1250=2⋅54:

24⋅54=2⋅54⋅2(2−x)(2+x)

Simplificamos:

24=21+(2−x)(2+x)

Como las bases son iguales:

4=1+(2−x)(2+x)

4=1+4−x2⇒x2=1

Por tanto, las soluciones candidatas son:

{x=1x=−1

Comprobamos:

{x=1→log⁡(22−1)2+1+log⁡1250=4→Sıˊ valex=−1→log⁡(22−(−1))2+(−1)+log⁡1250=4→Sıˊ vale

Por tanto:

{x1=1x2=−1

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