Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Aragón, septiembre 2019

Una encuesta realizada sobre el mes preferido, entre julio, agosto o septiembre, para salir de vacaciones arrojó los siguientes datos: un $40\mathrm{\%}$ prefiere julio, un $30\mathrm{\%}$ agosto y el resto prefiere el mes de septiembre. Entre los que prefieren el mes de julio, un $60\mathrm{\%}$ pasa sus vacaciones en un hotel; entre los que prefieren el mes de agosto un $40\mathrm{\%}$ elige hotel para sus vacaciones y entre los encuestados que prefieren septiembre, un $65\mathrm{\%}$ eligen hotel.

a) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que vaya a un hotel y le guste ir en agosto.

b) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que pase sus vacaciones en un hotel.

c) (0,5 puntos) Se elige al azar un individuo y dice que no pasa sus vacaciones en un hotel, calcule la probabilidad de que prefiera irse en agosto de vacaciones.

Puede hacerse con un diagrama de árbol.

Llamamos $J$ a preferir julio, $A$ a preferir agosto y $S$ a preferir septiembre.

Llamamos $H$ a pasar las vacaciones en un hotel y $O$ a elegir otra opción.



a) La probabilidad de que vaya a un hotel en agosto es:

$P(A\cap H)=P(A)\cdot P(H\mathrm{/}A)=0,30\cdot 0,40=0,12$

b) La probabilidad de que pase las vacaciones en un hotel es:

$P(H)=P(J)\cdot P(H\mathrm{/}J)+P(A)\cdot P(H\mathrm{/}A)+P(S)\cdot P(H\mathrm{/}S)$

$P(H)=0,40\cdot 0,60+0,30\cdot 0,40+0,30\cdot 0,65=0,24+0,12+0,195=0,555$

c) Primero calculamos la probabilidad de que no pase las vacaciones en un hotel:

$P(O)=1-P(H)=1-0,555=0,445$

Por Bayes, la probabilidad de que prefiera agosto sabiendo que no va a un hotel es:

$P(A\mathrm{/}O)={\displaystyle \frac{P(A)\cdot P(O\mathrm{/}A)}{P(O)}}={\displaystyle \frac{0,30\cdot 0,60}{0,445}}={\displaystyle \frac{0,18}{0,445}}={\displaystyle \frac{180}{445}}\approx 0,404$