Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

A.2.- En los extremos de un segmento de 3 m de longitud se encuentran dos cargas eléctricas de $+1\mu \mathrm{C}$ (a la izquierda) y $+2\mu \mathrm{C}$ (a la derecha). Calcula:

a) El campo eléctrico en un punto P situado verticalmente sobre el centro del segmento (punto M), y a una distancia de 1 m del mismo.
b) El potencial eléctrico en el punto central M del segmento.
c) El trabajo que hace el campo eléctrico para llevar una carga de $+1\mu \mathrm{C}$ desde el punto P hasta el punto M.

Datos:
$K=9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}$
$1\mu \mathrm{C}={10}^{-6}\mathrm{C}$

Se sitúan los ejes con el origen en el punto medio $M$ del segmento y el eje $X$ a lo largo de él. Con ese convenio:

$Q_1=+1\mu \text{C en }(-\mathrm{1,5};0);Q_2=+2\mu \text{C en }(\mathrm{1,5};0);P(0;1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{verticalmente}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segmento}}\mathbf{\text{(punto}}\mathbf{\text{M),}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mismo.}}$










El punto $P$ equidista de las dos cargas, y la distancia se obtiene del triángulo rectángulo de catetos $\mathrm{1,5}$ y $1\text{ m}$:

$r_1=r_2=\sqrt{{\mathrm{1,5}}^2+1^2}=\sqrt{\mathrm{3,25}}=\mathrm{1,803}\text{ m}$

Las dos cargas son positivas, así que sus campos se alejan de ellas. Los vectores unitarios correspondientes son:

${\vec{u}}_1={\displaystyle \frac{(\mathrm{1,5};1)}{\sqrt{\mathrm{3,25}}}};{\vec{u}}_2={\displaystyle \frac{(-\mathrm{1,5};1)}{\sqrt{\mathrm{3,25}}}}$





${\vec{E}}_1=K{\displaystyle \frac{Q_1}{r_1^2}}{\vec{u}}_1={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{3,25}}}\cdot {\displaystyle \frac{(\mathrm{1,5};1)}{\mathrm{1,803}}}=(2304;1536)\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=K{\displaystyle \frac{Q_2}{r_2^2}}{\vec{u}}_2={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 2\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{3,25}}}\cdot {\displaystyle \frac{(-\mathrm{1,5};1)}{\mathrm{1,803}}}=(-4608;3072)\text{ N/C}$

Por el principio de superposición:

${\vec{E}}_P={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=(-2304;4608)\text{ N/C}$

$\mid {\vec{E}}_P\mid =\sqrt{{2304}^2+{4608}^2}=\mathrm{5,15}\cdot {10}^3\text{ N/C}$

El campo en $P$ vale $(-\mathrm{2,30}\cdot {10}^3;\mathrm{4,61}\cdot {10}^3)\text{ N/C}$, de módulo $\mathrm{5,15}\cdot {10}^3\text{ N/C}$. Las componentes verticales se suman por simetría, mientras que las horizontales se restan y no llegan a cancelarse porque la carga de la derecha es el doble: de ahí que la resultante se incline hacia la izquierda.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{central}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segmento.}}$

El potencial es un escalar, de modo que basta sumar las contribuciones de las dos cargas con su signo. Desde $M$, ambas están a $\mathrm{1,5}\text{ m}$.

$V_M=K{\displaystyle \frac{Q_1}{r}}+K{\displaystyle \frac{Q_2}{r}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{1,5}}}+{\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 2\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{1,5}}}$

$V_M=6\cdot {10}^3+12\cdot {10}^3=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\text{ V}$

El potencial en el punto medio del segmento es de $\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\text{ V}$. Obsérvese que no es nulo aunque el punto sea el centro, porque las dos cargas son del mismo signo y sus potenciales se suman.



El trabajo que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga entre dos puntos es igual a la disminución de su energía potencial, es decir, al producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto de partida y el de llegada. Hace falta, pues, el potencial en $P$:

$V_P=K{\displaystyle \frac{Q_1}{r_1}}+K{\displaystyle \frac{Q_2}{r_2}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{1,803}}}+{\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 2\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{1,803}}}$

$V_P=\mathrm{4,99}\cdot {10}^3+\mathrm{9,99}\cdot {10}^3=\mathrm{1,50}\cdot {10}^4\text{ V}$

$W_{P\to M}=q(V_P-V_M)={10}^{-6}(\mathrm{1,50}\cdot {10}^4-\mathrm{1,80}\cdot {10}^4)$

$W_{P\to M}=-\mathrm{3,0}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

El campo eléctrico realiza un trabajo de $-\mathrm{3,0}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$, es decir, de módulo $\mathrm{3,0}\text{ mJ}$ pero negativo. El signo tiene sentido físico: se está llevando una carga positiva desde un punto de menor potencial hasta otro de mayor potencial, o sea, en contra del campo, de manera que es un agente exterior quien aporta esos $\mathrm{3,0}\text{ mJ}$ y el campo los absorbe como energía potencial. El solucionario oficial recoge el mismo valor con signo positivo, por haber aplicado la diferencia de potencial en orden inverso.