Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2022

A.4.- Un electrón posee una energía cinética de 25eV. Calcular:

a) La longitud de onda asociada al electrón.
b) La longitud de onda de un fotón con la misma energía de 25 eV.
c) La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa $m=\mathrm{0,005}\mu g$ con la misma velocidad que el electrón de los apartados anteriores.

Datos:
$m_e=\mathrm{9,1}\times {10}^{-31}Kg$; $e=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}C$; $h=\mathrm{6,626}\times {10}^{-34}J\cdot s$

Conviene empezar pasando la energía cinética a julios, porque será común a los tres apartados:

$E_c=25\text{ eV}=25\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-18}\text{ J}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se trata de la longitud de onda de De Broglie, que asocia a toda partícula material un carácter ondulatorio a través de su cantidad de movimiento:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{m_{e}v}}$

La cantidad de movimiento se obtiene de la energía cinética sin necesidad de calcular antes la velocidad:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2\Rightarrow p=m_{e}v=\sqrt{2m_e{E}_c}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{\sqrt{2m_e{E}_c}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}{\sqrt{2\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{4,0}\cdot {10}^{-18}}}}$

$\lambda =\mathrm{2,46}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$

La longitud de onda asociada al electrón es de $\mathrm{2,46}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$, es decir, unos $\mathrm{2,5}$ ángstroms. Es del orden de las distancias interatómicas de un cristal, y por eso electrones de estas energías se difractan en las redes cristalinas: esa fue la confirmación experimental de la hipótesis de De Broglie.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{fot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{eV.}}$

Para un fotón la relación entre energía y longitud de onda es distinta, porque su energía es directamente proporcional a la frecuencia y no depende de ninguna masa:

$E=h\nu ={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{hc}{E}}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-18}}}=\mathrm{4,97}\cdot {10}^{-8}\text{ m}$

El fotón de la misma energía tiene una longitud de onda de $\mathrm{4,97}\cdot {10}^{-8}\text{ m}$, unos $50\text{ nm}$, en el ultravioleta lejano. Es doscientas veces mayor que la del electrón, aunque las energías coincidan: la relación entre energía y longitud de onda no es la misma para una partícula material que para un fotón.



Hace falta ahora sí la velocidad del electrón, que se despeja de su energía cinética:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_c}{m_e}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{4,0}\cdot {10}^{-18}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}}=\mathrm{2,96}\cdot {10}^6\text{ m/s}$

Y la masa de la partícula, en kilogramos:

$m=\mathrm{0,005}\mu \text{g}=\mathrm{0,005}\cdot {10}^{-6}\cdot {10}^{-3}=5\cdot {10}^{-12}\text{ kg}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{mv}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}{5\cdot {10}^{-12}\cdot \mathrm{2,96}\cdot {10}^6}}$

$\lambda =\mathrm{4,47}\cdot {10}^{-29}\text{ m}$

La longitud de onda asociada a esa partícula es de $\mathrm{4,47}\cdot {10}^{-29}\text{ m}$. Aunque su masa parezca minúscula, es unos ${10}^{19}$ veces la del electrón, y como la longitud de onda es inversamente proporcional a la masa, el resultado es inconcebiblemente pequeño: veinte órdenes de magnitud por debajo del tamaño de un núcleo atómico. Ninguna experiencia puede detectar un comportamiento ondulatorio así, y esa es la razón de que el carácter ondulatorio de la materia solo se manifieste en partículas muy ligeras.