Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2020

A.3 (2 puntos). Una barra conductora, de 30 cm de longitud y paralela al eje y, se mueve en el plano xy con una velocidad en el sentido positivo del eje x. La barra se mueve sobre unos rieles conductores paralelos en forma de U (ver figura). Perpendicular al plano, hay un campo magnético uniforme ${10}^{-3}\vec{k}\mathrm{T}$. Halle la fuerza electromotriz inducida en la barra en función del tiempo en los siguientes casos:

a) La velocidad de la barra es constante e igual a ${10}^2\vec{i}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.
b) La barra parte del reposo y su aceleración es constante e igual a $5\vec{i}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

Antes de entrar en cada apartado conviene plantear el problema en general, porque ambos casos comparten el mismo punto de partida.

La barra, de longitud $L=30\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,30}\mathrm{m}$, junto con los dos rieles paralelos y la parte cerrada de la U, forma una espira conductora cuya superficie va creciendo a medida que la barra avanza en el sentido positivo del eje $x$. Si tomamos como origen la posición inicial de la barra y llamamos $x(t)$ a la distancia recorrida, la superficie de la espira es:

$S(t)=L\cdot x(t)$

El campo magnético $\vec{B}={10}^{-3}\vec{k}\mathrm{T}$ es perpendicular al plano $xy$ de la espira, es decir, paralelo al vector superficie $\vec{S}$. Por tanto el flujo magnético que atraviesa la espira es simplemente el producto del módulo del campo por el área:

$\mathrm{\Phi }=\vec{B}\cdot \vec{S}=BS(t)=BLx(t)$

Aplicamos ahora la ley de Faraday-Lenz, que establece que la fuerza electromotriz inducida es igual a la variación temporal del flujo magnético cambiada de signo:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-BL{\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-BLv(t)$

donde $v(t)={\displaystyle \frac{dx}{dt}}$ es la velocidad instantánea de la barra. El signo negativo es la traducción de la ley de Lenz: la corriente inducida se opone al aumento de flujo. Esta expresión es la clave de todo el problema; ahora solo hay que sustituir la velocidad correspondiente a cada caso.



Si la velocidad es constante, $v=100\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$ no depende del tiempo, y la fuerza electromotriz inducida tampoco. Sustituyendo en la expresión general:

$\epsilon =-BLv=-({10}^{-3}\mathrm{T})\cdot (\mathrm{0,30}\mathrm{m})\cdot (100\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s})$

Operando:

$\epsilon =-3\cdot {10}^{-2}\mathrm{V}=-\mathrm{0,03}\mathrm{V}$

Por tanto, la fuerza electromotriz es constante en el tiempo. El signo negativo indica el sentido de la corriente inducida (se opone al crecimiento del flujo, según la ley de Lenz); su valor en magnitud es de $\mathrm{0,03}\mathrm{V}$.

$\boxed{{\displaystyle \epsilon =-\mathrm{0,03}\mathrm{V}(\text{constante})}}$



Ahora la velocidad ya no es constante. Como la barra parte del reposo $(v_0=0)$ con aceleración constante $a=5\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2$, su velocidad crece linealmente con el tiempo según la cinemática del movimiento uniformemente acelerado:

$v(t)=v_0+at=at$

Sustituimos esta velocidad en la expresión general de la fuerza electromotriz:

$\epsilon (t)=-BLv(t)=-BLat$

Sustituyendo los valores numéricos con sus unidades:

$\epsilon (t)=-({10}^{-3}\mathrm{T})\cdot (\mathrm{0,30}\mathrm{m})\cdot (5\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2)\cdot t$

Operando los factores numéricos:

$\epsilon (t)=-\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}t\mathrm{V}$

con $t$ expresado en segundos. En este caso la fuerza electromotriz inducida no es constante, sino que crece en valor absoluto de forma lineal con el tiempo, ya que la velocidad de la barra (y por tanto la rapidez con que cambia el flujo) aumenta de manera uniforme.

$\boxed{{\displaystyle \epsilon (t)=-\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}t\mathrm{V}(t\text{ en s})}}$

La gráfica $\epsilon \text{-}t$ refleja la diferencia entre ambos casos: en el apartado a) la fuerza electromotriz es una recta horizontal (valor fijo $-\mathrm{0,03}\mathrm{V}$), mientras que en el apartado b) es una recta de pendiente $-\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}\mathrm{V}\mathrm{/}\mathrm{s}$ que parte del origen.