Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2022

Una espira cuadrada de $20\mathrm{c}\mathrm{m}$ de lado se somete a la acción de un campo magnético variable con el tiempo $B(t)$ perpendicular al plano de la espira. Halle el flujo magnético y la fem inducida en la espira en el tiempo $t=2\mathrm{s}$ en los siguientes casos:
a) Cuando el campo magnético es $B(t)=K\cdot t$, con $K$ igual a $2\cdot {10}^3\mathrm{T}{\mathrm{s}}^{-1}$.
b) Cuando el campo magnético es $B(t)=3\cdot {10}^3\cos (3\pi t)$, donde $B$ está en T y $t$ está en s.

Antes de entrar en los apartados conviene fijar las ideas físicas comunes a los dos.

El flujo magnético a través de una superficie plana de área $S$ atravesada por un campo uniforme $\vec{B}$ es

$\mathrm{\Phi }={\displaystyle {\int }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=BS\cos \theta }$

donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{B}$ y el vector normal a la superficie. Como el campo es perpendicular al plano de la espira, $\vec{B}$ es paralelo a la normal, $\theta =0$ y $\cos \theta =1$. Por tanto, en todo momento

$\mathrm{\Phi }(t)=B(t)S$

La fem inducida la da la ley de Faraday-Lenz, que establece que toda variación temporal del flujo genera una fuerza electromotriz inducida que se opone a dicha variación (de ahí el signo menos):

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}$

El área de la espira cuadrada es la misma en ambos apartados. El lado mide $\mathrm{\ell }=20\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,20}\mathrm{m}$, luego

$S={\mathrm{\ell }}^2=(\mathrm{0,20}\mathrm{m}{)}^2=\mathrm{0,04}{\mathrm{m}}^2=4\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2$



Sustituimos $B(t)=Kt$ en la expresión del flujo:

$\mathrm{\Phi }(t)=B(t)S=KtS=2\cdot {10}^3\mathrm{T}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 4\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2\cdot t=80t\mathrm{W}\mathrm{b}$

es decir, $\mathrm{\Phi }(t)=8\cdot {10}^{1}t\mathrm{W}\mathrm{b}$, con $t$ en segundos. El flujo crece linealmente con el tiempo. En el instante pedido $t=2\mathrm{s}$:

$\mathrm{\Phi }(2)=80\cdot 2\mathrm{W}\mathrm{b}=160\mathrm{W}\mathrm{b}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Phi }(t=2\mathrm{s})=\mathrm{1,6}\cdot {10}^2\mathrm{W}\mathrm{b}=160\mathrm{W}\mathrm{b}}}$

Para la fem aplicamos la ley de Faraday derivando el flujo respecto del tiempo. Como $\mathrm{\Phi }(t)=KSt$ es lineal, su derivada es constante:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left(KSt\right)=-KS$

Sustituyendo los valores:

$\epsilon =-KS=-(2\cdot {10}^3\mathrm{T}{\mathrm{s}}^{-1})(4\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2)=-80\mathrm{V}$

Al ser un campo que aumenta uniformemente, la fem inducida es constante e independiente del instante; en particular en $t=2\mathrm{s}$ vale lo mismo:

$\boxed{{\displaystyle \epsilon =-KS=-8\cdot {10}^1\mathrm{V}=-80\mathrm{V}}}$

El signo negativo indica, por la ley de Lenz, que la corriente inducida en la espira circula en el sentido que crea un campo magnético opuesto al aumento del flujo externo.



Procedemos igual. El flujo es de nuevo $\mathrm{\Phi }(t)=B(t)S$:

$\mathrm{\Phi }(t)=3\cdot {10}^3\cos (3\pi t)\cdot 4\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2=120\cos (3\pi t)\mathrm{W}\mathrm{b}$

esto es, $\mathrm{\Phi }(t)=\mathrm{1,2}\cdot {10}^2\cos (3\pi t)\mathrm{W}\mathrm{b}$. Evaluamos en $t=2\mathrm{s}$. El argumento del coseno vale $3\pi \cdot 2=6\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$, y como $\cos (6\pi )=1$:

$\mathrm{\Phi }(2)=\mathrm{1,2}\cdot {10}^2\cdot \cos (6\pi )\mathrm{W}\mathrm{b}=\mathrm{1,2}\cdot {10}^2\cdot 1\mathrm{W}\mathrm{b}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Phi }(t=2\mathrm{s})=\mathrm{1,2}\cdot {10}^2\mathrm{W}\mathrm{b}=120\mathrm{W}\mathrm{b}}}$

Para la fem derivamos el flujo. Recordando que ${\displaystyle \frac{d}{dt}}\cos (\omega t)=-\omega \mathrm{sen}(\omega t)$, con $\omega =3\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-{\displaystyle \frac{d}{dt}}[\mathrm{1,2}\cdot {10}^2\cos (3\pi t)]=\mathrm{1,2}\cdot {10}^2\cdot 3\pi \mathrm{sen}(3\pi t)$

$\epsilon (t)=\mathrm{3,6}\cdot {10}^2\pi \mathrm{sen}(3\pi t)\mathrm{V}$

Sustituyendo $t=2\mathrm{s}$, el argumento es $3\pi \cdot 2=6\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ y $\mathrm{sen}(6\pi )=0$:

$\epsilon (2)=\mathrm{3,6}\cdot {10}^2\pi \cdot \mathrm{sen}(6\pi )\mathrm{V}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^2\pi \cdot 0\mathrm{V}$

$\boxed{{\displaystyle \epsilon (t=2\mathrm{s})=0\mathrm{V}}}$

El resultado es coherente físicamente: en $t=2\mathrm{s}$ el coseno alcanza un máximo del flujo ($\mathrm{\Phi }=120\mathrm{W}\mathrm{b}$), y en un máximo la pendiente de la curva $\mathrm{\Phi }(t)$ es nula, ${\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=0$; por la ley de Faraday la fem inducida se anula precisamente en ese instante.