Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2020

B.3 (2 puntos). Una espira circular de radio $6\mathrm{c}\mathrm{m}$, inicialmente situada en el plano xy, está inmersa en el seno de un campo magnético homogéneo dirigido hacia el sentido positivo del eje z. Calcule, para el instante $t=7\mathrm{m}\mathrm{s}$, el flujo del campo magnético en la espira y la fuerza electromotriz inducida en los siguientes casos:

a) El módulo del campo magnético varía de la forma $B=3t^2$ ($B$ expresado en teslas y $t$ en segundos).
b) El módulo del campo magnético es constante e igual a $B=8\mathrm{m}\mathrm{T}$, y la espira gira con una velocidad angular de $60\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{-1}$, alrededor del eje y.

$\mathbf{\text{B.3}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio}}6\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{inicialmente}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}xy\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{inmersa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{seno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{homog}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{neo}}\mathbf{\text{dirigido}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{positivo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}z\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}t=7\mathrm{m}\mathrm{s}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{flujo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{inducida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{casos}}\mathbf{\text{siguientes.}}$

Datos previos. La espira es circular de radio $r=6\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,06}\mathrm{m}$, por lo que su superficie es:

$A=\pi r^2=\pi \cdot (\mathrm{0,06}\mathrm{m}{)}^2=\mathrm{1,131}\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2$

El flujo magnético a través de la espira se define como:

$\mathrm{\Phi }={\displaystyle {\int }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=BA\cos \theta }$

siendo $\theta$ el ángulo entre el vector campo $\vec{B}$ (dirigido según $+z$) y el vector superficie $\vec{S}$ (normal a la espira). La fuerza electromotriz inducida se obtiene de la ley de Faraday-Lenz:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}$

El instante de cálculo es $t=7\mathrm{m}\mathrm{s}=7\cdot {10}^{-3}\mathrm{s}$.



La espira permanece en el plano $xy$, de modo que su vector superficie es paralelo al campo ($\theta =0$, $\cos \theta =1$). El flujo depende del tiempo solo a través del módulo del campo:

$\mathrm{\Phi }(t)=BA=3t^2\cdot A$

Calculamos primero el campo en el instante pedido:

$B=3t^2=3\cdot (7\cdot {10}^{-3}\mathrm{s}{)}^2=\mathrm{1,47}\cdot {10}^{-4}\mathrm{T}$

Sustituyendo en el flujo:

$\mathrm{\Phi }=BA=\mathrm{1,47}\cdot {10}^{-4}\mathrm{T}\cdot \mathrm{1,131}\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Phi }\approx \mathrm{1,66}\cdot {10}^{-6}\mathrm{W}\mathrm{b}}}$

Para la fuerza electromotriz aplicamos la ley de Faraday-Lenz, derivando el flujo respecto del tiempo:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-A{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left(3t^2\right)=-A\cdot 6t$

Sustituyendo los valores:

$\epsilon =-\mathrm{1,131}\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2\cdot 6\cdot (7\cdot {10}^{-3}\mathrm{s})$

$\boxed{{\displaystyle \epsilon \approx -\mathrm{4,75}\cdot {10}^{-4}\mathrm{V}}}$

El signo negativo indica, por la ley de Lenz, que la corriente inducida se opone al aumento del flujo (el campo crece con el tiempo). En módulo, $\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }\approx \mathrm{4,75}\cdot {10}^{-4}\mathrm{V}$.



Ahora el campo es constante, $B=8\mathrm{m}\mathrm{T}=8\cdot {10}^{-3}\mathrm{T}$, pero al girar la espira cambia el ángulo entre su vector superficie y el campo. Como en $t=0$ la espira está en el plano $xy$ (vector superficie paralelo a $\vec{B}$), el ángulo barrido es:

$\theta =\omega t$

y el flujo varía de forma sinusoidal:

$\mathrm{\Phi }(t)=BA\cos (\omega t)$

Calculamos el ángulo girado en el instante pedido:

$\omega t=60\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 7\cdot {10}^{-3}\mathrm{s}=\mathrm{0,42}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

El flujo en ese instante vale:

$\mathrm{\Phi }=BA\cos (\omega t)=8\cdot {10}^{-3}\mathrm{T}\cdot \mathrm{1,131}\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2\cdot \cos (\mathrm{0,42})$

$\mathrm{\Phi }=\mathrm{9,05}\cdot {10}^{-5}\mathrm{W}\mathrm{b}\cdot \mathrm{0,913}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Phi }\approx \mathrm{8,26}\cdot {10}^{-5}\mathrm{W}\mathrm{b}}}$

Para la fuerza electromotriz derivamos el flujo respecto del tiempo (con $B$, $A$ y $\omega$ constantes):

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-BA{\displaystyle \frac{d}{dt}}[\cos (\omega t)]=BA\omega \mathrm{sen}(\omega t)$

Sustituyendo los valores:

$\epsilon =8\cdot {10}^{-3}\mathrm{T}\cdot \mathrm{1,131}\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2\cdot 60\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{sen}(\mathrm{0,42})$

$\epsilon =\mathrm{9,05}\cdot {10}^{-5}\mathrm{W}\mathrm{b}\cdot 60{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{0,408}$

$\boxed{{\displaystyle \epsilon \approx \mathrm{2,21}\cdot {10}^{-3}\mathrm{V}}}$

Esta es la fuerza electromotriz instantánea en $t=7\mathrm{m}\mathrm{s}$. Observamos que la rotación de la espira en un campo constante genera una f.e.m. alterna $\epsilon (t)=BA\omega \mathrm{sen}(\omega t)$, de amplitud máxima ${\epsilon }_0=BA\omega \approx \mathrm{5,43}\cdot {10}^{-3}\mathrm{V}$, que es el principio de funcionamiento del alternador.