Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) $f(x)=\log (x+1)$
b) $f(x)=\log (x^2+1)$
c) $f(x)=\ln (1-x^2)$
d) $f(x)=\ln (-x^2+2x-1)$
e) $f(x)=\log (x^2-4)$
f) $f(x)=\ln (x^2-9)$
g) $f(x)=\ln (x^2-5x+6)$
h) $f(x)=\log (x^3+2x-3)$
i) $f(x)={\log }_2(x^3-1)$

$\mathbf{\text{a)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$x+1>0$
$x>-1$
Ese conjunto es justo el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-1,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{b)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$x^2+1>0$
Un cuadrado nunca es negativo, así que el argumento vale como poco $1$:
$x^2+1\ge 1$
La condición se cumple para cualquier valor de $x$.
La condición no deja fuera ningún valor, así que el dominio es toda la recta:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}$


$\mathbf{\text{c)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$1-x^2>0$
Se busca dónde se anula el argumento:
$1-x^2=-(x-1)(x+1)=0$
$x=-1,x=1$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$-$ $(-1,1)$	$0$	$+$ $(1,\mathrm{\infty })$	$2$	$-$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos.
Ese conjunto es justo el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-1,1)$


$\mathbf{\text{d)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$-x^2+2x-1>0$
$-x^2+2x-1=-(x-1{)}^2$
Un cuadrado nunca es negativo, así que $-(x-1{)}^2$ no llega a ser positivo nunca: como mucho vale cero, y eso pasa donde se anula el paréntesis.
$(x-1{)}^2=0$
$x=1$
Y en $x=1$ el argumento vale cero, que tampoco sirve: el logaritmo lo pide estrictamente positivo. No queda ningún valor.
Ese conjunto es justo el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathrm{\varnothing }$


$\mathbf{\text{e)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$x^2-4>0$
Se busca dónde se anula el argumento:
$x^2-4=(x-2)(x+2)=0$
$x=-2,x=2$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$+$ $(-2,2)$	$0$	$-$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos.
Ese conjunto es justo el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{f)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$x^2-9>0$
Se busca dónde se anula el argumento:
$x^2-9=(x-3)(x+3)=0$
$x=-3,x=3$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },-3)$	$-4$	$+$ $(-3,3)$	$0$	$-$ $(3,\mathrm{\infty })$	$4$	$+$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos.
Ese conjunto es justo el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{g)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$x^2-5x+6>0$
Se busca dónde se anula el argumento:
$x^2-5x+6=(x-3)(x-2)=0$
$x=2,x=3$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },2)$	$1$	$+$ $(2,3)$	${\displaystyle \frac{5}{2}}$	$-$ $(3,\mathrm{\infty })$	$4$	$+$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos.
Ese conjunto es justo el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },2)\cup (3,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{h)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$x^3+2x-3>0$
Se busca dónde se anula el argumento:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^3+2x-3}& {\displaystyle =(x-1)(x^2+x+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$
$x=1$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },1)$	$0$	$-$ $(1,\mathrm{\infty })$	$2$	$+$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos.
Y una aclaración sobre la tabla: el factor $x^2+x+3$ es siempre positivo (su parábola no corta al eje), así que quien manda el signo es el otro factor.
Ese conjunto es justo el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(1,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{i)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$x^3-1>0$
Se busca dónde se anula el argumento:
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$
$x=1$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },1)$	$0$	$-$ $(1,\mathrm{\infty })$	$2$	$+$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos.
La base del logaritmo (aquí $2$) no cambia el dominio: la condición es siempre la misma sobre el argumento.
Ese conjunto es justo el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(1,\mathrm{\infty })$