Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) $f(x)=\log \left({\displaystyle \frac{x-2}{x^2+1}}\right)$
b) $f(x)={\displaystyle \frac{x-2}{\ln (x^2+1)}}$
c) $f(x)={\log }_5\left({\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}\right)$
d) $f(x)={\displaystyle \frac{\ln (4-x^2)}{x^2+2x+1}}$
e) $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\log (x^2+1)-1}}$
f) $f(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{x+2}{1-x}}\right)$
g) $f(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{x^2-1}{4-x^2}}\right)$
h) $f(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2-4x-5}}\right)$
i) $f(x)=\log \left({\displaystyle \frac{x^2+5x+6}{x^2+x}}\right)$

$\mathbf{\text{a)}}$ Dentro del logaritmo hay un cociente, así que lo primero es su denominador.
$\boxed{{\displaystyle \text{El denominador no puede ser cero}}}$
$x^2+1\ge 1$
Un cuadrado nunca es negativo, así que el denominador vale como poco $1$ y no se anula en ningún punto.
Y el argumento del logaritmo tiene que ser estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
${\displaystyle \frac{x-2}{x^2+1}}>0$
Se buscan los valores donde se anula el numerador (el otro no se anula nunca):
$x-2=0$
$x=2$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },2)$	$1$	$-$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$+$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos.
Se cortan las dos condiciones y queda el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(2,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{b)}}$ El logaritmo del denominador solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$x^2+1>0$
Un cuadrado nunca es negativo, así que el argumento vale como poco $1$:
$x^2+1\ge 1$
La condición se cumple para cualquier valor de $x$.
Y ese logaritmo está dividiendo, así que tampoco puede valer cero.
$\boxed{{\displaystyle \text{El denominador no puede ser cero}}}$
$\ln (x^2+1)=0$
$x^2+1=1$
$x=0$
Se cortan las dos condiciones y queda el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}-\{0\}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Dentro del logaritmo hay un cociente, así que lo primero es su denominador.
$\boxed{{\displaystyle \text{El denominador no puede ser cero}}}$
$x-1=0$
$x=1$
Y el argumento del logaritmo tiene que ser estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
${\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}>0$
Se buscan los valores donde se anulan el numerador y el denominador:
$x+1=0$
$x=-1$
$x-1=0$
$x=1$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$+$ $(-1,1)$	$0$	$-$ $(1,\mathrm{\infty })$	$2$	$+$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos. Y donde se anula el denominador tampoco hay fracción, así que ese valor se cae igual.
Se cortan las dos condiciones y queda el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{d)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$4-x^2>0$
Se busca dónde se anula el argumento:
$4-x^2=-(x-2)(x+2)=0$
$x=-2,x=2$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$-$ $(-2,2)$	$0$	$+$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$-$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos.
Y la fracción entera tiene su propio denominador.
$\boxed{{\displaystyle \text{El denominador no puede ser cero}}}$
$x^2+2x+1=(x+1{)}^2=0$
$x=-1$
Se cortan las dos condiciones y queda el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-2,-1)\cup (-1,2)$


$\mathbf{\text{e)}}$ El logaritmo solo existe si su argumento es estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
$x^2+1>0$
Un cuadrado nunca es negativo, así que el argumento vale como poco $1$:
$x^2+1\ge 1$
La condición se cumple para cualquier valor de $x$.
Lo que sí puede fallar es el denominador de la fracción, y ahí hay que acordarse de que el logaritmo decimal de $10$ vale $1$.
$\boxed{{\displaystyle \text{El denominador no puede ser cero}}}$
$\log (x^2+1)-1=0$
$\log (x^2+1)=1$
$x^2+1=10$
$x^2=9$
$x=-3,x=3$
Se cortan las dos condiciones y queda el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}-\{-3,3\}$


$\mathbf{\text{f)}}$ Dentro del logaritmo hay un cociente, así que lo primero es su denominador.
$\boxed{{\displaystyle \text{El denominador no puede ser cero}}}$
$1-x=0$
$x=1$
Y el argumento del logaritmo tiene que ser estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
${\displaystyle \frac{x+2}{1-x}}>0$
Se buscan los valores donde se anulan el numerador y el denominador:
$x+2=0$
$x=-2$
$1-x=0$
$x=1$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$-$ $(-2,1)$	$0$	$+$ $(1,\mathrm{\infty })$	$2$	$-$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos. Y donde se anula el denominador tampoco hay fracción, así que ese valor se cae igual.
Se cortan las dos condiciones y queda el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-2,1)$


$\mathbf{\text{g)}}$ Dentro del logaritmo hay un cociente, así que lo primero es su denominador.
$\boxed{{\displaystyle \text{El denominador no puede ser cero}}}$
$4-x^2=-(x-2)(x+2)=0$
$x=-2,x=2$
Y el argumento del logaritmo tiene que ser estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
${\displaystyle \frac{x^2-1}{4-x^2}}>0$
Se buscan los valores donde se anulan el numerador y el denominador:
$x^2-1=(x-1)(x+1)=0$
$x=-1,x=1$
$4-x^2=-(x-2)(x+2)=0$
$x=-2,x=2$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },-2)$	$-3$	$-$ $(-2,-1)$	$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$	$+$ $(-1,1)$	$0$	$-$ $(1,2)$	${\displaystyle \frac{3}{2}}$	$+$ $(2,\mathrm{\infty })$	$3$	$-$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos. Y donde se anula el denominador tampoco hay fracción, así que ese valor se cae igual.
Se cortan las dos condiciones y queda el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-2,-1)\cup (1,2)$


$\mathbf{\text{h)}}$ Dentro del logaritmo hay un cociente, así que lo primero es su denominador.
$\boxed{{\displaystyle \text{El denominador no puede ser cero}}}$
$x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0$
$x=-1,x=5$
Y el argumento del logaritmo tiene que ser estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
${\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2-4x-5}}>0$
Se buscan los valores donde se anulan el numerador y el denominador:
$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$
$x=-1,x=3$
$x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0$
$x=-1,x=5$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },-1)$	$-2$	$+$ $(-1,3)$	$1$	$+$ $(3,5)$	$4$	$-$ $(5,\mathrm{\infty })$	$6$	$+$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos. Y donde se anula el denominador tampoco hay fracción, así que ese valor se cae igual.
Ojo con el $-1$: ahí se anulan a la vez el numerador y el denominador, la fracción no existe y el valor se cae, aunque a los dos lados el signo sea el mismo.
Se cortan las dos condiciones y queda el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,3)\cup (5,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{i)}}$ Dentro del logaritmo hay un cociente, así que lo primero es su denominador.
$\boxed{{\displaystyle \text{El denominador no puede ser cero}}}$
$x^2+x=x(x+1)=0$
$x=-1,x=0$
Y el argumento del logaritmo tiene que ser estrictamente positivo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El argumento de un logaritmo}}\\ {\displaystyle \text{tiene que ser estrictamente positivo}}\end{array}}}$
${\displaystyle \frac{x^2+5x+6}{x^2+x}}>0$
Se buscan los valores donde se anulan el numerador y el denominador:
$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0$
$x=-3,x=-2$
$x^2+x=x(x+1)=0$
$x=-1,x=0$
Esos valores parten la recta; en cada trozo se prueba un número y se mira el signo del argumento:

$\text{Intervalo}$	$\text{Valor}$	$\text{Signo}$ $(-\mathrm{\infty },-3)$	$-4$	$+$ $(-3,-2)$	$-{\displaystyle \frac{5}{2}}$	$-$ $(-2,-1)$	$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$	$+$ $(-1,0)$	$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$	$-$ $(0,\mathrm{\infty })$	$1$	$+$

Se quedan los trozos con signo más. La desigualdad es estricta, así que los valores donde el argumento vale cero se caen y esos extremos quedan abiertos. Y donde se anula el denominador tampoco hay fracción, así que ese valor se cae igual.
Se cortan las dos condiciones y queda el dominio:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },-3)\cup (-2,-1)\cup (0,\mathrm{\infty })$