Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Sin necesidad de representarlas, hallar analíticamente el Dom(f) de las siguientes funciones:

a) $f(x)=\sqrt{2x-5}$
b) $f(x)=\sqrt{4-x}$
c) $f(x)=\sqrt{x^2+2x-8}$
d) $f(x)=\sqrt{x^2+x+4}$
e) $f(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{x}{x^2-16}}}$
f) $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{{(2x-3)}^2}}$
g) $f(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{x+3}{x^2-x-6}}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Hay una raíz cuadrada, y su radicando es $2x-5$. Un número negativo no tiene raíz cuadrada entre los números reales.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una}}\\ {\displaystyle \text{raiz de indice par}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser negativo}}\end{array}}}$
Así que hay que resolver esta inecuación:
$2x-5\ge 0$
$2x\ge 5$
$x\ge {\displaystyle \frac{5}{2}}$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=[{\displaystyle \frac{5}{2}},+\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{b)}}$ Hay una raíz cuadrada, y su radicando es $4-x$. Un número negativo no tiene raíz cuadrada entre los números reales.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una}}\\ {\displaystyle \text{raiz de indice par}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser negativo}}\end{array}}}$
Así que hay que resolver esta inecuación:
$4-x\ge 0$
Se pasa la $x$ al otro lado, que así no hay que dividir entre un número negativo (que daría la vuelta a la desigualdad):
$4\ge x$
$x\le 4$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },4]$


$\mathbf{\text{c)}}$ Hay una raíz cuadrada, y su radicando es $x^2+2x-8$. Un número negativo no tiene raíz cuadrada entre los números reales.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una}}\\ {\displaystyle \text{raiz de indice par}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser negativo}}\end{array}}}$
Así que hay que resolver esta inecuación:
$x^2+2x-8\ge 0$
Primero se busca dónde vale cero el radicando:
$x^2+2x-8=0$
Se resuelve con la fórmula de la ecuación de segundo grado. Aquí $a=1$, $b=2$ y $c=-8$, así que el discriminante vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle b^2-4ac}& {\displaystyle =2^2-4\cdot 1\cdot (-8)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+32=36}\end{array}$
y la fórmula da
$x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-2\pm 6}{2}}$
$x_1={\displaystyle \frac{-2+6}{2}}=2$
$x_2={\displaystyle \frac{-2-6}{2}}=-4$
Esos valores parten la recta real en tres trozos. Se prueba un valor de cada uno:
Para $x=-5$ el radicando sale positivo:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {(-5)}^2+2(-5)-8}& {\displaystyle =25-10-8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =7}\end{array}$
Para $x=-1$ el radicando sale negativo:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {(-1)}^2+2(-1)-8}& {\displaystyle =1-2-8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-9}\end{array}$
Para $x=3$ el radicando sale positivo:
$3^2+2\cdot 3-8=9+6-8=7$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },-4]\cup [2,+\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{d)}}$ Hay una raíz cuadrada, y su radicando es $x^2+x+4$. Un número negativo no tiene raíz cuadrada entre los números reales.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una}}\\ {\displaystyle \text{raiz de indice par}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser negativo}}\end{array}}}$
Así que hay que resolver esta inecuación:
$x^2+x+4\ge 0$
El radicando no se anula nunca, porque su discriminante sale negativo:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle b^2-4ac}& {\displaystyle =1^2-4\cdot 1\cdot 4=1-16}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-15}\end{array}$
Al no cortar al eje $X$, la parábola se queda entera a un lado y siempre tiene el mismo signo. Se comprueba con un valor cualquiera:
Para $x=0$ sale positivo:
$0^2+0+4=4$
Luego el radicando es positivo sea cual sea la $x$.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Dentro de la raíz hay una fracción, así que hay dos condiciones a la vez.
La primera: el radicando, que es la fracción entera, no puede ser negativo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una}}\\ {\displaystyle \text{raiz de indice par}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser negativo}}\end{array}}}$
${\displaystyle \frac{x}{x^2-16}}\ge 0$
La segunda: el denominador de esa fracción no puede ser cero.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El denominador}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser cero}}\end{array}}}$
$x^2-16=0$
$x^2=16$
$x=\pm \sqrt{16}=\pm 4$
Para resolver la inecuación se estudia el signo de la fracción. El numerador $x$ se anula en $x=0$, y el denominador en $x=-4$ y $x=4$.
Esos valores parten la recta real en cuatro trozos. Se prueba un valor de cada uno:
Para $x=-5$ la fracción sale negativa:
${\displaystyle \frac{-5}{{(-5)}^2-16}}={\displaystyle \frac{-5}{25-16}}={\displaystyle \frac{-5}{9}}$
Para $x=-2$ la fracción sale positiva:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{-2}{{(-2)}^2-16}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-2}{4-16}}={\displaystyle \frac{-2}{-12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}}\end{array}$
Para $x=2$ la fracción sale negativa:
${\displaystyle \frac{2}{2^2-16}}={\displaystyle \frac{2}{4-16}}={\displaystyle \frac{2}{-12}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$
Para $x=5$ la fracción sale positiva:
${\displaystyle \frac{5}{5^2-16}}={\displaystyle \frac{5}{25-16}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$
En $x=0$ la fracción vale 0, y el 0 sí tiene raíz cuadrada, así que ese valor entra.
En $x=-4$ y $x=4$ se anula el denominador, así que esos valores se quedan fuera: por eso sus extremos van abiertos.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=(-4,0]\cup (4,+\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{f)}}$ La única condición la pone el denominador ${(2x-3)}^2$: una fracción no se puede calcular si abajo sale un cero.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El denominador}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser cero}}\end{array}}}$
Se busca dónde se anula:
${(2x-3)}^2=0$
Una potencia solo vale cero si vale cero lo que hay dentro:
$2x-3=0$
$2x=3$
$x={\displaystyle \frac{3}{2}}$
Ese valor se quita de la recta real.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}-\left\{{\displaystyle \frac{3}{2}}\right\}$


$\mathbf{\text{g)}}$ Dentro de la raíz hay una fracción, así que hay dos condiciones a la vez.
La primera: el radicando, que es la fracción entera, no puede ser negativo.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una}}\\ {\displaystyle \text{raiz de indice par}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser negativo}}\end{array}}}$
${\displaystyle \frac{x+3}{x^2-x-6}}\ge 0$
La segunda: el denominador de esa fracción no puede ser cero.
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El denominador}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser cero}}\end{array}}}$
$x^2-x-6=0$
Se resuelve con la fórmula de la ecuación de segundo grado. Aquí $a=1$, $b=-1$ y $c=-6$, así que el discriminante vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle b^2-4ac}& {\displaystyle ={(-1)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+24=25}\end{array}$
y la fórmula da
$x={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{1\pm 5}{2}}$
$x_1={\displaystyle \frac{1+5}{2}}=3$
$x_2={\displaystyle \frac{1-5}{2}}=-2$
Para resolver la inecuación se estudia el signo de la fracción. El numerador $x+3$ se anula en $x=-3$, y el denominador en $x=-2$ y $x=3$.
Esos valores parten la recta real en cuatro trozos. Se prueba un valor de cada uno:
Para $x=-4$ la fracción sale negativa:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{-4+3}{{(-4)}^2-(-4)-6}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-4+3}{16+4-6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-1}{14}}}\end{array}$
Para $x=-\mathrm{2,5}$ la fracción sale positiva:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\displaystyle \frac{-\mathrm{2,5}+3}{{(-\mathrm{2,5})}^2-(-\mathrm{2,5})-6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-\mathrm{2,5}+3}{\mathrm{6,25}+\mathrm{2,5}-6}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{2,75}}}={\displaystyle \frac{2}{11}}}\end{array}$
Para $x=0$ la fracción sale negativa:
${\displaystyle \frac{0+3}{0^2-0-6}}={\displaystyle \frac{3}{-6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
Para $x=4$ la fracción sale positiva:
${\displaystyle \frac{4+3}{4^2-4-6}}={\displaystyle \frac{4+3}{16-4-6}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$
En $x=-3$ la fracción vale 0, y el 0 sí tiene raíz cuadrada, así que ese valor entra.
En $x=-2$ y $x=3$ se anula el denominador, así que esos valores se quedan fuera: por eso sus extremos van abiertos.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=[-3,-2)\cup (3,+\mathrm{\infty })$