Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

El punto más alto de un repetidor de televisión, situado en la cima de una montaña, se ve desde un punto del suelo $P$ bajo un ángulo de 67°. Si nos acercamos a la montaña 30 m lo vemos bajo un ángulo de 70° y desde ese mismo punto vemos la cima de la montaña bajo un ángulo de 66°. Calcular la altura del repetidor.

El repetidor está en la cima, así que lo que se pide es la diferencia entre dos alturas: la del punto más alto del repetidor y la de la cima de la montaña. Llamamos $Q$ al punto al que nos acercamos, $d$ a su distancia al pie de la montaña, $h_T$ a la altura de la punta del repetidor y $h_M$ a la de la cima. $P$ está 30 m más lejos que $Q$.

Desde $Q$ la punta del repetidor se ve bajo 70°. En ese triángulo rectángulo $h_T$ es el cateto opuesto y $d$ el contiguo, así que la razón es la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}}}}$
$\mathrm{tg}{70}^{\circ }={\displaystyle \frac{h_T}{d}}$
$h_T=d\cdot \mathrm{tg}{70}^{\circ }$
Desde $P$, que está 30 m más lejos, la misma punta se ve bajo 67°:
$\mathrm{tg}{67}^{\circ }={\displaystyle \frac{h_T}{d+30}}$
$h_T=(d+30)\cdot \mathrm{tg}{67}^{\circ }$
Las dos expresiones son la misma altura, así que el problema es este sistema:
$\{\begin{array}{l}{h}_T=d\cdot \mathrm{tg}{70}^{\circ }\\ h_T=(d+30)\cdot \mathrm{tg}{67}^{\circ }\end{array}$
Igualamos las dos y quitamos el paréntesis:
$d\cdot \mathrm{tg}{70}^{\circ }=(d+30)\cdot \mathrm{tg}{67}^{\circ }$
$d\cdot \mathrm{tg}{70}^{\circ }=d\cdot \mathrm{tg}{67}^{\circ }+30\cdot \mathrm{tg}{67}^{\circ }$
Juntamos las $d$ en el primer miembro y sacamos factor común:
$d(\mathrm{tg}{70}^{\circ }-\mathrm{tg}{67}^{\circ })=30\cdot \mathrm{tg}{67}^{\circ }$
Y despejamos. Aquí hay que tener cuidado: las tangentes de 70° y de 67° se parecen mucho y al restarlas se pierden decimales, así que no se redondean antes de dividir; se dejan tal cual en la calculadora y se redondea solo el resultado.
$d={\displaystyle \frac{30\cdot \mathrm{tg}{67}^{\circ }}{\mathrm{tg}{70}^{\circ }-\mathrm{tg}{67}^{\circ }}}=\mathrm{180,47}$
Con esa distancia sale la altura de la punta del repetidor:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h_T=\mathrm{180,4674}\cdot \mathrm{tg}{70}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{495,83}}\end{array}$
Y desde $Q$ la cima de la montaña se ve bajo 66°, con la misma base $d$:
$\mathrm{tg}{66}^{\circ }={\displaystyle \frac{h_M}{d}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h_M=\mathrm{180,4674}\cdot \mathrm{tg}{66}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{405,34}}\end{array}$
El repetidor es lo que sobresale por encima de la cima, es decir, la diferencia de las dos alturas:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle r=h_T-h_M=\mathrm{495,83}-\mathrm{405,34}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{90,49}}\end{array}$
El repetidor mide 90,49 m.