Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Calcula el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 6 m.

Estar inscrito quiere decir que los cinco vértices del pentágono están sobre la circunferencia, así que el centro de la circunferencia es también el centro del pentágono y los segmentos que van del centro a los vértices son radios de 6 m. Uniendo el centro con dos vértices seguidos sale un triángulo isósceles con dos lados de 6 m y el lado del pentágono, que llamamos $x$.

Su ángulo en el centro es la quinta parte de la vuelta completa:
${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$
La altura de ese triángulo isósceles lo parte en dos triángulos rectángulos iguales: cada uno se queda con la mitad del ángulo central, 36°, con un radio de 6 m como hipotenusa y con medio lado, que llamamos $m$, como cateto opuesto.
Respecto a ese ángulo de 36°, $m$ es el cateto opuesto y el radio es la hipotenusa, así que la razón que los relaciona es el seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}}}$
$\mathrm{sen}{36}^{\circ }={\displaystyle \frac{m}{6}}$
Despejamos $m$ multiplicando los dos miembros por 6:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle m=6\cdot \mathrm{sen}{36}^{\circ }=6\cdot \mathrm{0,5878}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{3,53}}\end{array}$
Pero $m$ es solo MEDIO lado; el lado entero es el doble:
$x=2\cdot \mathrm{3,5267}=\mathrm{7,05}$
El lado del pentágono mide 7,05 m.