Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas II · Galicia · 2026

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (4 puntos)

Responda dos de estos tres apartados: 3.1., 3.2., 3.3.

3.1. Dado el polinomio $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, calcule los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ si se sabe que $p$ tiene un extremo relativo en $(1,-6)$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $p$ en $x = -1$ es $y = 4x + 2$.

3.2. Dibuje la gráfica de una función $f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}$ que tenga las siguientes propiedades:

$f$, $f'$ y $f''$ tienen el mismo signo en el intervalo $(-1,2)$ y

$\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$.

Luego, dé explicaciones relacionando el dibujo con la monotonía, la convexidad o concavidad y el concepto de asíntota.

3.3. Dadas las funciones $f(x) = \cos x$ y $g(x) = \dfrac{4}{\pi^2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)^2$, dibuje la región encerrada por sus gráficas y calcule su área.

Se resuelven los tres apartados, aunque el examen solo pide dos.

$\textbf{3.1. Calcule los coeficientes } a\textbf{, } b\textbf{, } c \textbf{ y } d \textbf{ del polinomio } p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\textbf{.}$

Hay cuatro incógnitas, así que hacen falta cuatro condiciones. El enunciado da exactamente cuatro, dos por cada dato.

Que $p$ tenga un extremo relativo en el punto $(1,-6)$ significa dos cosas: que la gráfica pasa por ese punto y que la derivada se anula allí.

$p(1) = -6 \qquad\qquad p'(1) = 0$

Que la recta tangente en $x=-1$ sea $y = 4x+2$ significa otras dos: que la gráfica y la recta se tocan en ese punto y que la pendiente de la curva es la de la recta.

$p(-1) = 4(-1)+2 = -2 \qquad\qquad p'(-1) = 4$

Se necesita la derivada:

$p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

Y se sustituye en las cuatro condiciones:

$\left\{\begin{array}{rcl} p(1) = a+b+c+d &=& -6 \\ p'(1) = 3a+2b+c &=& 0 \\ p(-1) = -a+b-c+d &=& -2 \\ p'(-1) = 3a-2b+c &=& 4 \end{array}\right.$

Las ecuaciones segunda y cuarta solo tienen tres incógnitas y se resuelven aparte. Restándolas:

$(3a+2b+c) - (3a-2b+c) = 0 - 4 \ \Rightarrow\ 4b = -4 \ \Rightarrow\ b = -1$

Sumándolas:

$6a + 2c = 4 \ \Rightarrow\ 3a + c = 2$

Del mismo modo, restando la primera y la tercera:

$(a+b+c+d)-(-a+b-c+d) = -6-(-2) \ \Rightarrow\ 2a+2c = -4 \ \Rightarrow\ a+c = -2$

Con $3a+c=2$ y $a+c=-2$, restando se obtiene $2a = 4$, es decir, $a = 2$, y de ahí $c = -4$. Finalmente, de la primera ecuación:

$d = -6 - a - b - c = -6 - 2 + 1 + 4 = -3$

$\boxed{a = 2, \quad b = -1, \quad c = -4, \quad d = -3}$

El polinomio es:

$p(x) = 2x^3 - x^2 - 4x - 3$

Comprobación de las cuatro condiciones, con $p'(x) = 6x^2-2x-4$:

$p(1) = 2-1-4-3 = -6$ y $p'(1) = 6-2-4 = 0$

$p(-1) = -2-1+4-3 = -2$ y $p'(-1) = 6+2-4 = 4$

Como dato adicional, $p''(x) = 12x-2$ y $p''(1) = 10 > 0$, de modo que el extremo relativo de $(1,-6)$ es un mínimo.

$\textbf{3.2. Dibuje la gráfica de una función } f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R} \textbf{ con las propiedades indicadas.}$

Hay que leer primero qué obliga cada condición.

Que $f$, $f'$ y $f''$ tengan el $\textbf{mismo signo}$ en el intervalo $(-1,2)$ deja dos posibilidades: las tres positivas o las tres negativas. Se toma el primer caso, que es el que encaja mejor con la otra condición. Entonces, en $(-1,2)$:

i) $f > 0$: la gráfica va por encima del eje de abscisas.

ii) $f' > 0$: la función es $\textbf{creciente}$ en ese intervalo.

iii) $f'' > 0$: la función es $\textbf{convexa}$ en ese intervalo, es decir, abre hacia arriba.

La segunda condición,

$\lim_{x\to 2^+} f(x) = -\infty$

dice que la recta $x = 2$ es una $\textbf{asíntota vertical}$, y que al acercarse a ella por la derecha la gráfica se desploma. Esto es coherente con que el 2 esté excluido del dominio.

Una función concreta que cumple todo a la vez es la hipérbola

$f(x) = \dfrac{1}{2-x}$

En efecto, sus dos primeras derivadas son:

$f'(x) = \dfrac{1}{(2-x)^2} \qquad\qquad f''(x) = \dfrac{2}{(2-x)^3}$

En el intervalo $(-1,2)$ se tiene $2-x>0$, así que las tres expresiones son positivas, como se pedía. Y por la derecha de 2 el denominador es negativo y tiende a cero, luego $f$ tiende a $-\infty$.



$\textbf{Lectura de la gráfica.}$

$\textbf{Monotonía}$: en $(-1,2)$ la curva sube de izquierda a derecha, y lo hace cada vez más deprisa según se acerca a la asíntota. Eso es lo que significa $f'>0$: la pendiente de la recta tangente es positiva en todos los puntos del intervalo.

$\textbf{Curvatura}$: la gráfica queda por encima de cualquiera de sus tangentes, que es la definición geométrica de convexidad. Como no hay ningún punto donde $f''$ cambie de signo dentro del intervalo, tampoco hay puntos de inflexión.

$\textbf{Asíntotas}$: la recta $x=2$ es asíntota vertical, y la gráfica se acerca a ella por los dos lados, subiendo hacia $+\infty$ por la izquierda y bajando hacia $-\infty$ por la derecha. Además, la recta $y=0$ es asíntota horizontal, porque la función tiende a cero cuando $x$ se va a $\pm\infty$.

Conviene subrayar que la respuesta no es única: cualquier curva creciente, convexa y positiva en $(-1,2)$ que caiga a $-\infty$ nada más pasar el 2 vale igual.

$\textbf{3.3. Dibuje la región encerrada por las gráficas de } f(x)=\cos x \textbf{ y } g(x)=\dfrac{4}{\pi^2}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2 \textbf{ y calcule su área.}$

Lo primero es localizar los puntos donde se cortan las dos curvas, que son los límites de integración:

$\cos x = \dfrac{4}{\pi^2}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2$

La ecuación no se resuelve por métodos algebraicos, así que se buscan las soluciones por inspección, probando los valores notables. En $x = \dfrac{\pi}{2}$:

$\cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \qquad\qquad \dfrac{4}{\pi^2}\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)^2 = 0$

En $x = 0$:

$\cos 0 = 1 \qquad\qquad \dfrac{4}{\pi^2}\left(0-\dfrac{\pi}{2}\right)^2 = \dfrac{4}{\pi^2}\cdot\dfrac{\pi^2}{4} = 1$

Los dos puntos de corte son, por tanto, $(0,1)$ y $\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$, y no hay más: la parábola tiene su vértice en $x=\pi/2$ y crece muy deprisa a los dos lados, mientras que el coseno está acotado entre $-1$ y 1, de modo que fuera de $[0,\pi/2]$ la parábola queda siempre por encima.



Dentro del intervalo es el coseno el que va por arriba. Basta comprobarlo en un punto interior, por ejemplo en $x = \dfrac{\pi}{4}$:

$\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}71 \qquad\qquad \dfrac{4}{\pi^2}\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

El área del recinto es la integral de la diferencia, con el coseno como función superior:

$S = \int_0^{\pi/2}\left[\cos x - \dfrac{4}{\pi^2}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2\right]dx$

Las dos primitivas son inmediatas:

$\int \cos x\,dx = \sin x \qquad\qquad \int \dfrac{4}{\pi^2}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2 dx = \dfrac{4}{\pi^2}\cdot\dfrac{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3}{3}$

$S = \left[\sin x - \dfrac{4}{3\pi^2}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^3\right]_0^{\pi/2}$

En el extremo superior los dos sumandos valen $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ y 0. En el inferior, $\sin 0 = 0$ y

$-\dfrac{4}{3\pi^2}\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)^3 = -\dfrac{4}{3\pi^2}\cdot\left(-\dfrac{\pi^3}{8}\right) = \dfrac{\pi}{6}$

$S = (1-0) - \left(0+\dfrac{\pi}{6}\right) = 1 - \dfrac{\pi}{6}$

$\boxed{S = 1 - \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}476\ \text{u}^2}$

El resultado es positivo, como debe ser un área, y menor que 1, lo que encaja con que el recinto quepa holgadamente dentro del rectángulo de base $\pi/2$ y altura 1.