Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas II · Galicia · 2025

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (2,5 puntos). Responda uno de estos dos apartados: 3.1. o 3.2.

3.1. Dada la función $f(x) = \left\{\begin{array}{lcl} kx^2 + 2x & \text{si} & x \le 1, \\ x^2 - m & \text{si} & x > 1, \end{array}\right.$ se pide responder a las siguientes cuestiones:

3.1.1. ¿Qué condición deben cumplir $k$ y $m$ para que $f$ sea continua en $x = 1$?

3.1.2. ¿Para qué valores de $k$ y $m$ es $f$ derivable en $x = 1$?

3.2. Dibuje la región encerrada por la gráfica de $f(x) = \sqrt{2x+1}$, el eje $X$ y las rectas $x = 0$, $x = 4$. Luego, calcule su área.

El examen permite elegir entre el apartado 3.1 y el 3.2; se resuelven los dos.

$\textbf{3.1.1. ¿Qué condición deben cumplir } \boldsymbol{k}\textbf{ y } \boldsymbol{m}\textbf{ para que } \boldsymbol{f}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{?}$

Las dos ramas son polinómicas y, por tanto, continuas en su tramo; el único punto dudoso es el de empalme. Para que $f$ sea continua en $x=1$ los dos límites laterales han de existir, coincidir y valer $f(1)$.

$f(1)=\lim_{x\to 1^{-}}\left(kx^{2}+2x\right)=k+2$

$\lim_{x\to 1^{+}}\left(x^{2}-m\right)=1-m$

$k+2=1-m \Rightarrow k+m=-1$

La condición pedida es, por tanto, $k+m=-1$: cualquier pareja de valores que la cumpla hace continua a $f$ en $x=1$.

$\textbf{3.1.2. ¿Para qué valores de } \boldsymbol{k}\textbf{ y } \boldsymbol{m}\textbf{ es } \boldsymbol{f}\textbf{ derivable en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{?}$

La derivabilidad exige la continuidad, así que se mantiene la condición anterior y añadimos que las derivadas laterales coincidan. La función derivada en cada tramo es:

$f'(x)=\begin{cases} 2kx+2 & \text{si } x<1 \\ 2x & \text{si } x>1 \end{cases}$

$f'(1^{-})=2k+2 \qquad f'(1^{+})=2$

$2k+2=2 \Rightarrow 2k=0 \Rightarrow k=0$

Y llevando este valor a la condición de continuidad:

$k+m=-1 \Rightarrow 0+m=-1 \Rightarrow m=-1$

La función es derivable en $x=1$ únicamente para $k=0$ y $m=-1$, y en ese caso $f'(1)=2$.

$\textbf{3.2. Dibuje la región encerrada por la gráfica de } \boldsymbol{f(x) = \sqrt{2x + 1}}\textbf{, el eje } \boldsymbol{X}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x = 0}\textbf{, } \boldsymbol{x = 4}\textbf{. Luego, calcule su área.}$

La función existe cuando $2x+1\ge 0$, es decir, en $x\ge -\frac{1}{2}$, de modo que está definida en todo el intervalo $[0,4]$; además es una raíz cuadrada, luego $f(x)\ge 0$ y la región queda por encima del eje $X$. Es la rama superior de una parábola de eje horizontal, que pasa por $(0,1)$ y por $(4,3)$.



Al ser $f(x)>0$ en todo el intervalo, el área coincide con la integral definida.

$A=\int_{0}^{4}\sqrt{2x+1}\;dx=\int_{0}^{4}(2x+1)^{1/2}dx$

Integramos por cambio de variable:

$\begin{cases} t=2x+1 \\ dt=2\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{dt}{2} \end{cases} \Rightarrow \int (2x+1)^{1/2}dx=\dfrac{1}{2}\int t^{1/2}dt=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^{3/2}}{3/2}=\dfrac{(2x+1)^{3/2}}{3}$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left[\dfrac{(2x+1)^{3/2}}{3}\right]_{0}^{4}=\dfrac{9^{3/2}}{3}-\dfrac{1^{3/2}}{3}=\dfrac{27}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{3}$

El área de la región encerrada es $\dfrac{26}{3}\approx 8{,}67\ \text{u}^{2}$.