Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas II · 2026

a) Justifique, indicando los teoremas en los que se basa, que la ecuación $x^3 - 2x^2 + 2x - 2 = 0$ tiene una única solución real y encuentre dicha solución con un error menor de una décima. [1,25 puntos]

b) Dada la función $g(x) = -x^2 + 2x + 2$, determine el área de la región limitada por las gráficas de las funciones $g(x)$ y $g'(x)$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Justifique, indicando los teoremas en los que se basa, que la ecuación } \boldsymbol{x^3 - 2x^2 + 2x - 2 = 0}\textbf{ tiene una única solución real y encuentre dicha solución con un error menor de una décima. [1,25 puntos]}$

Llamamos $h(x)=x^3-2x^2+2x-2$, que por ser polinómica es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$.

Existencia, por el teorema de Bolzano: buscamos dos puntos en los que la función cambie de signo.

$h(1)=1-2+2-2=-1<0 \qquad h(2)=8-8+4-2=2>0$

Al ser $h$ continua en $[1,2]$ y tomar valores de distinto signo en los extremos, existe al menos una raíz en $(1,2)$.

Unicidad, por el teorema de Rolle: si hubiera dos raíces, entre ellas la derivada tendría que anularse.

$h'(x)=3x^2-4x+2 \qquad \Delta=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 2=16-24=-8<0$

La derivada no tiene raíces reales y, al ser positivo su coeficiente principal, $h'(x)>0$ siempre: la función es estrictamente creciente y no puede cortar al eje más de una vez.

Para acotar la raíz vamos bisecando el intervalo hasta que su amplitud baje de una décima.

$h(1{,}5)=3{,}375-4{,}5+3-2=-0{,}125<0 \Rightarrow \text{la raíz está en }(1{,}5\,;\,2)$

$h(1{,}6)=4{,}096-5{,}12+3{,}2-2=0{,}176>0 \Rightarrow \text{la raíz está en }(1{,}5\,;\,1{,}6)$

La solución está en el intervalo $(1{,}5\,;\,1{,}6)$, de amplitud una décima, así que tomando $x\approx 1{,}5$ el error es menor que $0{,}1$.

$\textbf{b) Dada la función } \boldsymbol{g(x) = -x^2 + 2x + 2}\textbf{, determine el área de la región limitada por las gráficas de las funciones } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g'(x)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

La región queda entre los puntos de corte de la parábola con su recta derivada, así que empezamos igualándolas.

$g'(x)=-2x+2$

$-x^2+2x+2=-2x+2 \Rightarrow -x^2+4x=0 \Rightarrow x(4-x)=0 \Rightarrow \begin{cases}x=0\\x=4\end{cases}$

Entre esos dos valores la parábola queda por encima de la recta, pues la diferencia $g(x)-g'(x)=-x^2+4x$ es positiva en $(0,4)$; por ejemplo, en $x=2$ vale 4. El área es la integral de esa diferencia.

$\text{Área}=\int_{0}^{4}\left(-x^2+4x\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+2x^2\right]_{0}^{4}$

$=-\dfrac{64}{3}+32=\dfrac{-64+96}{3}=\dfrac{32}{3}$

El área de la región limitada por las dos gráficas es de $\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ unidades de superficie.