Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas II · Galicia · 2026

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (4 puntos)

Responda dos de estos tres apartados: 3.1., 3.2., 3.3.

3.1. Para cada uno de los siguientes casos, dibuje, cuando sea posible, la gráfica de una función que cumpla las propiedades indicadas:
a) Continua pero no derivable en $x = 0$.
b) Continua en $[a,b]$, con $f(a)f(b) < 0$, y cuya gráfica corte al eje $x$ en más de un punto del intervalo $(a,b)$.
c) Continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$, con $f(a)f(b) < 0$, $f' > 0$ en $(a,b)$, y cuya gráfica corte al eje $x$ en más de un punto del intervalo $(a,b)$.
d) Dos veces derivable en $\mathbb{R}$, con $f'' > 0$ en $\mathbb{R}$ y monótona en $\mathbb{R}$.

3.2. Calcule los siguientes límites:
a) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x}$.
b) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\ln x}$.
c) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x}$.
d) $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}\,\ln x$.

3.3. Calcule el valor que tiene que tomar el parámetro positivo $a$ para que el área de la región encerrada por la gráfica de la función $f(x) = ax^2 - 2ax$ y el eje $x$ sea igual a 10 unidades de superficie. Haga un dibujo de la región.

El examen pide responder dos de los tres apartados; se resuelven los tres.

$\textbf{3.1. Para cada uno de los siguientes casos, dibuje, cuando sea posible, la gráfica de una función que cumpla las propiedades indicadas:}$

a) Sí es posible. Basta con que la gráfica presente un punto anguloso en el origen. La función valor absoluto $f(x)=|x|$ es continua en $x=0$, pero sus derivadas laterales valen

$f'(0^{-})=-1 \neq 1=f'(0^{+})$

y al ser distintas no existe $f'(0)$.

b) Sí es posible. El teorema de Bolzano asegura que hay al menos un corte con el eje $x$ cuando $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)f(b)<0$, pero no afirma que ese corte sea único. Cualquier curva continua que suba por encima del eje y vuelva a bajar antes de llegar a $b$ lo corta tres veces.

c) No es posible. Si $f'>0$ en todo $(a,b)$, la función es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva: no puede tomar el valor 0 en dos puntos distintos. Se descarta razonando por reducción al absurdo: si $x_1<x_2$ fuesen dos ceros de $f$, el teorema de Rolle aplicado en $[x_1,x_2]$ daría un punto $c\in(x_1,x_2)$ con $f'(c)=0$, en contra de la hipótesis $f'>0$.

d) Sí es posible. Se necesita una función convexa en todo $\mathbb{R}$ y a la vez monótona. La exponencial $f(x)=e^{x}$ cumple ambas cosas:

$f'(x)=e^{x}>0 \ \ \forall x\in\mathbb{R} \Rightarrow f \text{ es estrictamente creciente}$

$f''(x)=e^{x}>0 \ \ \forall x\in\mathbb{R} \Rightarrow f \text{ es convexa}$



Las gráficas anteriores corresponden a los tres casos que sí admiten ejemplo; el caso c) queda sin dibujo por ser imposible.

$\textbf{3.2. Calcule los siguientes límites:}$

a) No hay indeterminación: la función es continua en $x=1$ y basta sustituir.

$\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln 1}{1}=\dfrac{0}{1}=0$

b) Aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, que deshacemos aplicando la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\ln x}=\left(\dfrac{0}{0}\right)\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 1}x=1$

c) También es del tipo $\frac{0}{0}$, pero se resuelve sin derivar: escribimos la tangente como cociente y simplificamos.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{1}=1$

d) Es una indeterminación $0\cdot(-\infty)$. La transformamos en un cociente para poder aplicar L'Hôpital.

$\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}\,\ln x=\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{x^{-1/2}}=\left(\dfrac{-\infty}{+\infty}\right)$

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}x^{-3/2}}=\lim_{x\to 0^{+}}\left(-2\,x^{1/2}\right)=0$

Los cuatro límites valen, respectivamente, 0, 1, 1 y 0.

$\textbf{3.3. Calcule el valor que tiene que tomar el parámetro positivo } \boldsymbol{a}\textbf{ para que el área de la región encerrada por la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x) = ax^2 - 2ax}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{x}\textbf{ sea igual a 10 unidades de superficie. Haga un dibujo de la región.}$

Localizamos primero los límites de integración, que son los puntos de corte de la parábola con el eje $x$.

$f(x)=0 \Rightarrow ax^{2}-2ax=0 \Rightarrow ax(x-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

Como $a>0$, la parábola se abre hacia arriba y entre sus dos raíces queda por debajo del eje: para $x\in(0,2)$ se tiene $x>0$ y $x-2<0$, luego $f(x)<0$. El área se obtiene por tanto cambiando de signo la integral.



$A=\int_{0}^{2}\left|f(x)\right|\,dx=-\int_{0}^{2}\left(ax^{2}-2ax\right)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A=-\left[\dfrac{ax^{3}}{3}-ax^{2}\right]_{0}^{2}=-\left[\left(\dfrac{8a}{3}-4a\right)-0\right]=-\left(-\dfrac{4a}{3}\right)=\dfrac{4a}{3}$

Imponemos que ese área valga 10 unidades de superficie.

$\dfrac{4a}{3}=10 \Rightarrow 4a=30 \Rightarrow a=\dfrac{30}{4}=\dfrac{15}{2}=7{,}5$

El valor positivo del parámetro que hace que la región encerrada entre la parábola y el eje $x$ mida 10 unidades de superficie es $a=7{,}5$.