Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2026

El plutonio-238 es un radioisótopo, sin aplicaciones militares, cuyo periodo de semidesintegración es de 87,7 años. La NASA lo utiliza en generadores de radioisótopos (RTG, Radioisotope Thermoelectric Generator) transformando el calor derivado de la desintegración radiactiva en electricidad. Estos dispositivos se instalan en misiones espaciales en las que no se puede depender exclusivamente de la energía solar, como por ejemplo la sonda Voyager 1, lanzada en 1977. Uno de sus RTG contenía aproximadamente 4,5 kg de Pu-238 en el momento de su lanzamiento. Calcule:

a) La vida media del radioisótopo y la constante de desintegración radiactiva. (0,5 puntos)

b) El tiempo que tiene que transcurrir hasta que quede la cuarta parte del plutonio original. (0,5 puntos)

c) La masa de Pu-238 que quedará cuando hayan pasado 50 años de su lanzamiento. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{vida}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{radiois}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{radiactiva.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración, que es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad.

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{87,7}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}}=\mathrm{7,90}\cdot {10}^{-3}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

En unidades del SI, con $T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{87,7}\cdot 365\cdot 24\cdot 3600=\mathrm{2,77}\cdot {10}^9\text{ s}$:

$\lambda =\mathrm{2,51}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$

La vida media es el tiempo que por término medio tarda en desintegrarse un núcleo, y es la inversa de la constante de desintegración.

$\tau ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{7,90}\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{126,5}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{quede}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuarta}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plutonio}}\mathbf{\text{original.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La ley de desintegración radiactiva relaciona el número de núcleos —o, lo que es equivalente, la masa— con el tiempo transcurrido.

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

${\displaystyle \frac{N_0}{4}}=N_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \ln {\displaystyle \frac{1}{4}}=-\lambda t$

$t={\displaystyle \frac{\ln 4}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,386}}{\mathrm{7,90}\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{175,4}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

El resultado era previsible sin calcularlo: quedar la cuarta parte equivale a reducirse a la mitad dos veces seguidas, es decir, dos periodos de semidesintegración, $2\cdot \mathrm{87,7}=\mathrm{175,4}$ años.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Pu-238}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{quedar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{hayan}}\mathbf{\text{pasado}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{lanzamiento.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se aplica la misma ley, ahora con la masa y con $t=50$ años.

$m=m_0{e}^{-\lambda t}=\mathrm{4,5}\cdot e^{-\mathrm{7,90}\cdot {10}^{-3}\cdot 50}$

$m=\mathrm{4,5}\cdot e^{-\mathrm{0,395}}=\mathrm{4,5}\cdot \mathrm{0,674}$

$m=\mathrm{3,03}\text{ kg}$

Medio siglo después del lanzamiento quedan unos 3,03 kg de los 4,5 kg iniciales de plutonio-238, en torno a dos tercios de la carga original: por eso la Voyager 1 seguía enviando datos décadas después de partir.