Ejercicio resuelto de Sistema periódico · Química · 2025

a) Calcule la longitud de onda, $\lambda$, de un electrón que se mueve a una velocidad de $\mathrm{5,97}\cdot {10}^6\text{ m}{\text{s}}^{-1}$. [1,25 puntos]

Datos: $h=\mathrm{6,626}06896\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$ y $m_{\text{e}}=\mathrm{9,109}38215\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$.

b) Dados los siguientes conjuntos de números cuánticos, indique, razonadamente, si son o no posibles. [1,25 puntos]

	$n$	$l$	$m_l$	$m_s$ 1	3	0	0	$-1\mathrm{/}2$ 2	2	2	1	$-1\mathrm{/}2$ 3	3	2	1	$+1\mathrm{/}2$ 4	3	1	1	$+1\mathrm{/}2$ 5	4	2	$-2$	0

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5,97×10⁶}}\mathbf{\text{m/s.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se aplica la hipótesis de De Broglie, según la cual toda partícula en movimiento lleva asociada una onda de longitud inversamente proporcional a su cantidad de movimiento:

$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{m_{\text{e}}v}$

$\lambda =\frac{\mathrm{6,626}06896\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{9,109}38215\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^6}=\frac{\mathrm{6,626}06896\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{5,438}\cdot {10}^{-24}}$

$\lambda =\mathrm{1,22}\cdot {10}^{-10}\text{ m}=122\text{ pm}$

La longitud de onda asociada al electrón es de $\mathrm{1,22}\cdot {10}^{-10}$ m, es decir, del orden del tamaño de un átomo. Esa coincidencia de escalas es la que hace que el comportamiento ondulatorio del electrón sea imprescindible para describir la estructura atómica, mientras que en un objeto macroscópico —con una masa billones de veces mayor— la longitud de onda resulta tan minúscula que ningún experimento la detecta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dados}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{conjuntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{meros}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nticos,}}\mathbf{\text{indique,}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{posibles.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las reglas que han de cumplirse son:

$n=1,2,3,\dots l=0,1,\dots ,n-1m_l=-l,\dots ,0,\dots ,+l{m}_s=\pm \frac{1}{2}$

Conjunto	$(n,l,m_l,m_s)$	¿Posible?	Motivo 1	$(3,0,0,-1\mathrm{/}2)$	Sí	Orbital $3s$: cumple las cuatro reglas 2	$(2,2,1,-1\mathrm{/}2)$	No	$l$ ha de ser menor que $n$; con $n=2$, como mucho $l=1$ 3	$(3,2,1,+1\mathrm{/}2)$	Sí	Orbital $3d$: $l=2<3$ y $\mathrm{\mid }{m}_l\mathrm{\mid }\le 2$ 4	$(3,1,1,+1\mathrm{/}2)$	Sí	Orbital $3p$: todo correcto 5	$(4,2,-2,0)$	No	El número cuántico de espín solo puede valer $\pm 1\mathrm{/}2$

En el conjunto 2 el error está en el número cuántico secundario: para $n=2$ solo existen los subniveles $2s$ ($l=0$) y $2p$ ($l=1$); no hay ningún «$2d$».

En el conjunto 5 los tres primeros números describen un orbital $4d$ perfectamente válido, pero $m_s=0$ es imposible: el espín del electrón es semientero y sus dos únicas orientaciones son $+\frac{1}{2}$ y $-\frac{1}{2}$.