Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas CCSS · 2025

Observe la siguiente secuencia de figuras.



a) Determine cuántos rectángulos habrá en la figura número 13. Encuentre una fórmula general que relacione el número de figura con el número de rectángulos, y explique cómo ha llegado a ella, dejando claro qué representa cada símbolo que use (por ejemplo: «con $n$ represento el número de figura»). [2 puntos]

b) Encuentre un número $x$ mayor que 300 para el que exista una figura que tenga exactamente $x$ rectángulos. ¿Qué número de figura sería? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{13.}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rmula}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{relacione}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $n$ al número de figura y $R(n)$ al número de rectángulos que la componen. Cada figura es una escalera simétrica: la fila de abajo tiene varios rectángulos y cada fila superior dos menos, hasta rematar en uno solo.

Figura	Filas (de abajo arriba)	Total 1	$3+1$	4 2	$5+3+1$	9 3	$7+5+3+1$	16

La regularidad es doble. Por un lado, la figura $n$ tiene $n+1$ filas, y la de abajo tiene $2n+1$ rectángulos. Por otro, el total es siempre la suma de los primeros números impares, y esa suma es un cuadrado perfecto:

$1+3+5+\cdots +(2n+1)=(n+1{)}^2$

de modo que

$R(n)=(n+1{)}^2$

Se comprueba con la tabla: $R(1)=4$, $R(2)=9$ y $R(3)=16$. (Otra forma de verlo: al pasar de una figura a la siguiente hay que añadir una fila de abajo y ampliar todas, y el incremento es $R(n)-R(n-1)=2n+1$, es decir, justo la fila nueva.)

Para la figura 13:

$R(13)=(13+1{)}^2={14}^2=196\text{rect}\acute{\text{a}}\text{ngulos}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{300}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{exista}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como el número de rectángulos es siempre un cuadrado perfecto, basta buscar el primer cuadrado que pase de 300:

${17}^2=289<300<324={18}^2$

Sirve, pues, $x=324$, y la figura correspondiente se obtiene resolviendo

$(n+1{)}^2=324\Rightarrow n+1=18\Rightarrow n=17$

La figura número $17$ tiene exactamente $324$ rectángulos. Valdría igualmente cualquier otro cuadrado mayor, como $361={19}^2$, que corresponde a la figura 18; lo que no existe es una figura con 300 o 350 rectángulos, porque no son cuadrados perfectos.