Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas CCSS · 2025

En una caseta de feria proponen un reto, a partir de las siguientes figuras.



a) El reto consiste en adivinar cuántos puntos en total (negros y blancos) habrá en la figura número 17 y, además, decir cuántos de ellos serán puntos negros y cuántos blancos. Para quienes han superado este reto, se plantea uno más complicado: ¿es capaz de encontrar una fórmula que relacione el número de figura con el número de puntos negros para una figura cualquiera? Explique cómo ha llegado a ella, indicando qué representa cada símbolo que use (por ejemplo: «$n$ es el número de figura»). [2 puntos]

b) Dos clientes de la caseta, tras observar detenidamente el reto, tienen opiniones encontradas: una dice que no es posible que haya una figura que tenga un número par de puntos negros y otro dice que sí lo es. ¿A quién le da la razón? ¿Qué argumentos puede utilizar para convencerlos? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{17,}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{negros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{blancos?}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rmula}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{relacione}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{negros.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $n$ al número de figura. Observando las cuatro primeras se ve que la figura $n$ es una cuadrícula de puntos con $n+1$ filas y $n+1$ columnas, en la que están pintados de negro la fila de arriba y la columna de la izquierda, y de blanco todos los demás:

Figura	Cuadrícula	Total	Negros	Blancos 1	$2\times 2$	4	3	1 2	$3\times 3$	9	5	4 3	$4\times 4$	16	7	9 4	$5\times 5$	25	9	16

De ahí salen las tres fórmulas. El total es el número de puntos de la cuadrícula:

$T(n)=(n+1{)}^2$

Los negros son los $n+1$ de la fila superior más los $n$ de la columna izquierda que quedan por debajo —el de la esquina ya se ha contado—:

$N(n)=(n+1)+n=2n+1$

y los blancos, los que quedan, que forman a su vez un cuadrado de lado $n$:

$B(n)=T(n)-N(n)=(n+1{)}^2-(2n+1)=n^2$

Se comprueban con la tabla: para $n=3$ dan $16$, $7$ y $9$.

Para la figura 17:

$T(17)={18}^2=324\text{ puntos en total}$

$N(17)=2\cdot 17+1=35\text{ negros}$

$B(17)={17}^2=289\text{ blancos}$

(Comprobación: $35+289=324$.)

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{clienta}}\mathbf{\text{dice}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{par}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{negros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{dice}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qui}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{raz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La razón la tiene $\mathbf{\text{quien}}\mathbf{\text{dice}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible}}$, y el argumento es inmediato a partir de la fórmula:

$N(n)=2n+1$

Como $2n$ es par para cualquier número natural $n$, al sumarle 1 el resultado es siempre impar. No existe, por tanto, ninguna figura con un número par de puntos negros: la sucesión es $3,5,7,9,11,\dots$, todos impares.

Otra forma de verlo, sin fórmulas: al pasar de una figura a la siguiente se añaden siempre dos puntos negros —uno arriba y otro a la izquierda—, así que la paridad no cambia nunca, y como la primera figura tiene 3 puntos negros, un número impar, todas las demás lo tendrán también.