Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas CCSS · 2026

Observe la siguiente secuencia de figuras:



a) Determine cuántos cuadrados grises habrá en la figura número 17. Encuentre una fórmula general que relacione el número de cuadrados grises y el número de figura. [2 puntos]

b) Considere la figura número $n$ y la figura número $m$. ¿Es posible que la diferencia entre el número de cuadrados grises de ambas figuras sea 9? En caso afirmativo, ¿cuáles serían $n$ y $m$? Si no es posible, explique por qué. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{cuadrados}}\mathbf{\text{grises}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{17.}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rmula}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{relacione}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cuadrados}}\mathbf{\text{grises}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{figura.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada figura es un cuadrado grande de cuadraditos con un hueco blanco en el centro. Contando las tres primeras:

Figura	Lado	Grises	Blancos 1	$3\times 3$	8	$1\times 1=1$ 2	$4\times 4$	12	$2\times 2=4$ 3	$5\times 5$	16	$3\times 3=9$

De una figura a la siguiente se añaden siempre 4 cuadrados grises, así que la sucesión es aritmética de diferencia 4 y su término general es de primer grado:

$g(n)=8+4(n-1)=4n+4$

La fórmula se puede justificar de dos maneras. La primera, contando el marco: la figura $n$ tiene lado $n+2$ y el hueco blanco es de lado $n$, de modo que los grises son la diferencia de las dos áreas:

$g(n)=(n+2{)}^2-n^2=n^2+4n+4-n^2=4n+4$

La segunda, viendo el marco como cuatro tiras de $n+1$ cuadraditos que dan la vuelta sin solaparse: $4(n+1)=4n+4$.

Para la figura 17:

$g(17)=4\cdot 17+4=72\text{ cuadrados grises}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Considere}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cuadrados}}\mathbf{\text{grises}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{figuras}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{9?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La diferencia entre dos figuras cualesquiera es

$g(n)-g(m)=(4n+4)-(4m+4)=4(n-m)$

es decir, siempre un múltiplo de 4. Como 9 no es múltiplo de 4 —$9\mathrm{/}4=\mathrm{2,25}$ no es entero—, no es posible: no existen dos figuras cuya diferencia de cuadrados grises sea 9.

Las diferencias posibles son solo $4,8,12,16,\dots$, según cuántos lugares separen a las dos figuras. Para obtener 8, por ejemplo, bastaría tomar dos figuras consecutivas de dos en dos, como la 5 y la 3.