Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

a) Se prepara una disolución disolviendo 46 mg de ácido fórmico (ácido metanoico) en 100 mL de agua. Calcule el valor de su constante de acidez sabiendo que el pH de la disolución preparada es 2,92. (1 punto)

b) Se hacen reaccionar 10 mL de la disolución de ácido fórmico anterior con una disolución que contiene 4 mg de hidróxido de sodio en 10 mL de agua. Indique razonadamente cómo será el pH (ácido, básico o neutro) de la disolución resultante. (1 punto)

Datos: masas atómicas: $\text{C}=12$; $\text{H}=1$; $\text{Na}=23$; $\text{O}=16$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{prepara}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{disolviendo}}\mathbf{\text{46}}\mathbf{\text{mg}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rmico}}\mathbf{\text{(}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido}}\mathbf{\text{metanoico)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{mL}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acidez}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{preparada}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{2,92.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Primero la concentración inicial, con $M(\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H})=2\cdot 1+12+2\cdot 16=46$ g/mol:

$n=\frac{46\cdot {10}^{-3}}{46}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}\text{ mol}$

$c=\frac{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{0,100}}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-2}\text{ mol/L}$

Del pH se obtiene la concentración de protones en el equilibrio:

$[{\mathrm{H}}^{+}]={10}^{-\mathrm{2,92}}=\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-3}\text{ mol/L}$

Por la estequiometría de la disociación, por cada protón formado aparece un metanoato y desaparece una molécula de ácido:

$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}\rightleftharpoons \mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}+{\mathrm{H}}^{+}$

$$	$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$	$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}$	${\mathrm{H}}^{+}$
Inicial (mol/L)	0,0100	0	0
Equilibrio (mol/L)	0,00880	0,00120	0,00120

$K_a=\frac{[\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}][{\mathrm{H}}^{+}]}{[\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}]}=\frac{(\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-3}{)}^2}{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-2}-\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-3}}=\frac{\mathrm{1,45}\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{8,80}\cdot {10}^{-3}}$

$K_a=\mathrm{1,64}\cdot {10}^{-4}$

Aquí es importante $\mathbf{\text{no}}$ despreciar los protones frente a la concentración inicial: el grado de disociación es del 12 por ciento, demasiado alto para aproximar.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{hacen}}\mathbf{\text{reaccionar}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{mL}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rmico}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{mg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hidr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{xido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sodio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{mL}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{(}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido,}}\mathbf{\text{b}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{neutro)}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{resultante.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Lo primero es ver si sobra alguno de los dos, calculando los moles de cada uno.

$n(\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H})=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-2}\cdot \mathrm{0,010}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}\text{ mol}$

$n(\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{O}\mathrm{H})=\frac{4\cdot {10}^{-3}}{40}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}\text{ mol}$

Las cantidades son $\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{equivalentes}}$, de modo que la neutralización es completa y no sobra ni ácido ni base:

$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}+\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{O}\mathrm{H}\to \mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{a}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$

Pero eso no significa que el pH sea 7: lo que queda es la sal, y hay que mirar cómo se comportan sus iones frente al agua. El $\mathrm{N}{\mathrm{a}}^{+}$ procede de una base fuerte y no se hidroliza. El $\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}$, en cambio, es la $\mathbf{\text{base}}\mathbf{\text{conjugada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{bil}}$ y sí lo hace:

$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}+\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}$

Esa hidrólisis libera $\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}$, de modo que la disolución resultante es $\mathbf{\text{b}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sica}}$.

Se puede estimar cuánto. La concentración de la sal en los 20 mL de mezcla es $\mathrm{5,0}\cdot {10}^{-3}$ mol/L, y la constante de basicidad del anión:

$K_b=\frac{K_w}{K_a}=\frac{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-14}}{\mathrm{1,64}\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{6,1}\cdot {10}^{-11}$

$[\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}]=\sqrt{K_b\cdot c}=\sqrt{\mathrm{6,1}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,0}\cdot {10}^{-3}}=\mathrm{5,5}\cdot {10}^{-7}\text{ mol/L}$

$\mathrm{p}\mathrm{H}=14+\log (\mathrm{5,5}\cdot {10}^{-7})=\mathrm{7,74}$

Básico, aunque solo ligeramente, porque el metanoato es una base muy débil y además está muy diluido.