Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · La Rioja · 2025

El periodo de semidesintegración del radio es de 1620 años. Calcule el tiempo necesario para que se desintegre el 90 % de una muestra de radio.

$\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1620}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desintegre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio.}}$










La desintegración radiactiva sigue la ley exponencial:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

y la constante de desintegración se obtiene del período de semidesintegración imponiendo $N=N_0\mathrm{/}2$:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{t_{1\mathrm{/}2}}}$





$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{1620}}=\mathrm{4,28}\cdot {10}^{-4}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

Si se ha desintegrado el 90 % de la muestra, lo que queda es el 10 % restante:

${\displaystyle \frac{N}{N_0}}=\mathrm{0,10}$

Se despeja el tiempo tomando logaritmos neperianos en la ley de desintegración:

$\mathrm{0,10}=e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln \mathrm{0,10}=-\lambda t$

$t=-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,10}}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,303}}{\mathrm{4,28}\cdot {10}^{-4}}}$

$t=\mathrm{5,38}\cdot {10}^3\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Han de transcurrir unos $\mathrm{5,38}\cdot {10}^3$ años, es decir, algo más de 5380, para que se desintegre el 90 % de la muestra. El resultado se puede escribir de forma compacta como $t=t_{1\mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\ln 10}{\ln 2}}=\mathrm{3,32}{t}_{1\mathrm{/}2}$: hacen falta algo más de tres períodos de semidesintegración, lo que encaja con que tras tres períodos quede aún un 12,5 % de la muestra.