Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Un hospital está especializado en el tratamiento de 3 enfermedades A, B, C. El 40 % de los pacientes ingresan con la enfermedad A, el 35 % con la enfermedad B y el 25 % con la enfermedad C. La probabilidad de curación de la enfermedad A es el 80 %, de la B el 60 % y de la C el 90 %.

i) José ingresa en el hospital (no sabemos cual de las tres enfermedades padece). ¿Cuál es la probabilidad de que se cure? (1 punto)
ii) Miguel ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ingresara padeciendo la enfermedad B? (1 punto)
iii) Rosa ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que NO padeciera la enfermedad B? (0,5 puntos)

Se nombran los sucesos:

$A,B,C\equiv$ el paciente ingresa con esa enfermedad,

$S\equiv$ el paciente se cura.

Del enunciado se leen las proporciones de ingresos y las probabilidades de curación de cada enfermedad:

$P(A)=\mathrm{0,40};P(B)=\mathrm{0,35};P(C)=\mathrm{0,25}$

$P(S\mathrm{/}A)=\mathrm{0,80};P(S\mathrm{/}B)=\mathrm{0,60};P(S\mathrm{/}C)=\mathrm{0,90}$



$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Jos}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ingresa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{hospital}}\mathbf{\text{(no}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{enfermedades}}\mathbf{\text{padece).}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cure?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Las tres enfermedades forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en curación.

$P(S)=P(A)P(S\mathrm{/}A)+P(B)P(S\mathrm{/}B)+P(C)P(S\mathrm{/}C)$

$P(S)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,80}+\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,60}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,90}$

$P(S)=\mathrm{0,32}+\mathrm{0,21}+\mathrm{0,225}=\mathrm{0,755}$

La probabilidad de que José se cure es $\mathrm{0,755}$, es decir, un 75,5 %.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Miguel}}\mathbf{\text{ingres}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{hospital}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{restablecido}}\mathbf{\text{completamente.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ingresara}}\mathbf{\text{padeciendo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{enfermedad}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Es una probabilidad a posteriori, así que se aplica el teorema de Bayes con el denominador ya calculado.

$P(B\mathrm{/}S)={\displaystyle \frac{P(B)P(S\mathrm{/}B)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,21}}{\mathrm{0,755}}}$

$P(B\mathrm{/}S)={\displaystyle \frac{42}{151}}\approx \mathrm{0,2781}$

La probabilidad de que Miguel ingresara con la enfermedad B es ${\displaystyle \frac{42}{151}}\approx \mathrm{0,2781}$, algo menos que el 35 % de partida: la B es la que menos se cura, así que haberse curado la hace menos verosímil.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Rosa}}\mathbf{\text{ingres}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{hospital}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{restablecido}}\mathbf{\text{completamente.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{NO}}\mathbf{\text{padeciera}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{enfermedad}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es el suceso contrario del anterior dentro del mismo espacio reducido.

$P\left(\bar{B}\mathrm{/}S\right)=1-P(B\mathrm{/}S)=1-{\displaystyle \frac{42}{151}}={\displaystyle \frac{109}{151}}$

La probabilidad de que Rosa no padeciera la enfermedad B es ${\displaystyle \frac{109}{151}}\approx \mathrm{0,7219}$, es decir, un 72,19 %.