Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Los ingresos mensuales por ventas de un establecimiento siguen una distribución normal, con una desviación típica de 900 euros. Con los datos de los últimos 9 meses han calculado, como intervalo de confianza para la media mensual de ingresos, el intervalo comprendido entre 4663 y 5839 euros.

a) ¿Cuál fue el promedio de los ingresos en esos nueve meses? (0.5 puntos)
b) ¿Con qué nivel de confianza se ha obtenido el intervalo? (1.5 puntos)
c) Si con el mismo nivel de confianza el intervalo hubiera sido el comprendido entre 4957 y 5545, ¿cuántos meses habrían formado la muestra? (0.5 puntos)

Se llama $X$ a los ingresos mensuales, en euros, del establecimiento. Según el enunciado

$X\sim N(\mu ,900)$

y la muestra es de $n=9$ meses.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{promedio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{nueve}}\mathbf{\text{meses?}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El intervalo de confianza está centrado en la media muestral, de modo que esta es el punto medio de sus extremos.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{4663+5839}{2}}={\displaystyle \frac{10502}{2}}=5251$

El promedio de los ingresos en esos nueve meses fue de 5251 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo?}}\mathbf{\text{(1.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El error máximo admisible es la semiamplitud del intervalo:

$E={\displaystyle \frac{5839-4663}{2}}={\displaystyle \frac{1176}{2}}=588$

De la expresión del error se despeja la abscisa crítica:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow 588=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{900}{3}}$

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{588}{300}}=\mathrm{1,96}$

Se busca en la tabla el área que acumula ese valor y se deshace la relación con el nivel de confianza:

$P(Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow 1-\alpha =\mathrm{0,95}$



El intervalo se obtuvo con un nivel de confianza del 95 %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{hubiera}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{comprendido}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{4957}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{5545,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{formado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra?}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El nuevo error es la semiamplitud del nuevo intervalo:

$E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{5545-4957}{2}}={\displaystyle \frac{588}{2}}=294$

Como el nivel de confianza no cambia, la abscisa crítica sigue siendo $\mathrm{1,96}$ y se despeja el tamaño de la muestra:

$294=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{900}{\sqrt{n}}}\Rightarrow \sqrt{n}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\cdot 900}{294}}={\displaystyle \frac{1764}{294}}=6$

$n=36$

La muestra habría estado formada por 36 meses: al dividir el error entre dos, el tamaño se multiplica por cuatro.