Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Basándose en encuestas, se considera, para la gente de La Rioja, que los sucesos

A = «le gusta pasar sus vacaciones en la playa»;
B = «le gusta pasar sus vacaciones en la montaña»; y
C = «no le gustan ni la playa ni la montaña para sus vacaciones»

tienen probabilidades

$P(A)=0.75,P(B)=0.5,\text{y}P(C)=\mathrm{0.1.}$

Se entiende que «le gusta» y «no le gusta» son en cada caso complementarios: cualquier persona respondería o bien «sí» o bien «no» a las preguntas de si le gustan playa o montaña. (2.5 puntos)

i) ¿Cuánto valen $P(A\cup B)$ y $P(A\cap B)$?
ii) ¿Son A y B sucesos independientes?
iii) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona le guste la montaña si sabemos que para ella no sucede C?

El suceso $C$ es «no le gustan ni la playa ni la montaña», es decir, no le gusta la playa y tampoco la montaña. Por las leyes de De Morgan es el contrario de la unión:

$C=\bar{A}\cap \bar{B}=\overline{A\cup B}$



La probabilidad de la unión es la del contrario de $C$:

$P(A\cup B)=1-P(C)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$

Y con ella se despeja la intersección en la fórmula de la probabilidad de la unión:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$\mathrm{0,9}=\mathrm{0,75}+\mathrm{0,5}-P(A\cap B)$

$P(A\cap B)=\mathrm{1,25}-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,35}$

Con estos datos se reparten las cuatro zonas del diagrama: solo playa $\mathrm{0,4}$, ambas $\mathrm{0,35}$, solo montaña $\mathrm{0,15}$ y ninguna $\mathrm{0,1}$.



$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{independientes?}}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección coincide con el producto de sus probabilidades. Se comparan los dos valores.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,375}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,35}\mathrm{\ne }\mathrm{0,375}$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes. Al ser la intersección menor que el producto, saber que a alguien le gusta la playa hace algo menos probable que también le guste la montaña.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{guste}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{monta}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ella}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sucede}}\mathbf{\text{C?}}$

Que no ocurra $C$ es que ocurra $A\cup B$. Como $B$ está contenido en la unión, la intersección de los dos sucesos es el propio $B$:

$B\subset A\cup B\Rightarrow P(B\cap \bar{C})=P(B)=\mathrm{0,5}$

$P\left(B\mathrm{/}\bar{C}\right)={\displaystyle \frac{P(B\cap \bar{C})}{P\left(\bar{C}\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{0,9}}}$

$P\left(B\mathrm{/}\bar{C}\right)={\displaystyle \frac{5}{9}}\approx \mathrm{0,5556}$

Sabiendo que a la persona le gusta al menos uno de los dos destinos, la probabilidad de que le guste la montaña es $\frac{5}{9}\approx \mathrm{0,5556}$, algo más que el 0,5 de partida.