Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Como ya sabe la cifra de asistentes, el ayuntamiento de Zaragoza ha asegurado que la duración de la ofrenda de flores del día del Pilar tendrá, en horas, una distribución de probabilidad normal con media 8 y desviación típica $\sqrt{2}\mathrm{/}5$.

i) ¿Puedes afirmar, con al menos un 95 % de probabilidad de acierto, que la duración de la ofrenda será inferior a ocho horas y media? ¿Podemos hacerlo con probabilidad mayor del 99 %? (1.5 puntos)
ii) Una variable normal estándar Z cumple que $P(Z\le 2.3263)=0.99$. ¿Qué desviación típica (en lugar de la dada, y manteniendo la media de ocho horas) debería tener la duración de la ofrenda para que la probabilidad de ser menor que ocho horas y media fuera del 99 %? (1 punto)

Se llama $X$ a la duración, en horas, de la ofrenda. Según el enunciado

$X\sim N(8,{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5}});{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5}}\approx \mathrm{0,2828}$

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{¿Puedes}}\mathbf{\text{afirmar,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acierto,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ofrenda}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ocho}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{media?}}\mathbf{\text{¿Podemos}}\mathbf{\text{hacerlo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{(1.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Ocho horas y media son $\mathrm{8,5}$ horas. Se tipifica ese valor:

$P(X<\mathrm{8,5})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{8,5}-8}{\frac{\sqrt{2}}{5}}})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot 5}{\sqrt{2}}})$

$=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{\mathrm{1,4142}}})=P(Z<\mathrm{1,77})$

$P(Z<\mathrm{1,77})=\mathrm{0,9616}$



Sí se puede afirmar con al menos un 95 % de probabilidad de acierto, porque $\mathrm{0,9616}>\mathrm{0,95}$. En cambio no se puede afirmar con más del 99 %, ya que $\mathrm{0,9616}<\mathrm{0,99}$.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{lugar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{dada,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{manteniendo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ocho}}\mathbf{\text{horas)}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ofrenda}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ocho}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{fuera}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se repite la tipificación dejando la desviación típica como incógnita y se impone que el área acumulada valga $\mathrm{0,99}$, que según el enunciado corresponde a la abscisa $\mathrm{2,3263}$.

$P(X<\mathrm{8,5})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\sigma }})=\mathrm{0,99}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\sigma }}=\mathrm{2,3263}$



$\sigma ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{2,3263}}}\approx \mathrm{0,2149}$

La desviación típica debería ser de unas $\mathrm{0,2149}$ horas, es decir, unos 13 minutos. Es menor que la de partida, como tenía que salir: para poder afirmar lo mismo con más seguridad, la duración tiene que ser más predecible.