Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Jorge y Laura juegan con dados. Los dados son equilibrados y, como es habitual, las caras están numeradas del 1 al 6. Jorge echa un dado, y a continuación Laura echa otro. Laura gana si la diferencia entre los dos resultados obtenidos es (en valor absoluto) mayor que 1.

a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar de Laura? (1.25 puntos)
b) Si han jugado y ha ganado Laura, ¿cuál es la probabilidad de que Jorge haya sacado un 6? (1.25 puntos)

Los dos dados son equilibrados e independientes, de modo que los 36 pares ordenados de resultados son igualmente probables y se puede aplicar la regla de Laplace. Se llama $i$ al resultado de Jorge y $j$ al de Laura.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ganar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Laura?}}\mathbf{\text{(1.25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Conviene contar por el suceso contrario, que tiene muchos menos casos: Laura pierde cuando $\mathrm{\mid }i-j\mathrm{\mid }\le 1$, es decir, cuando los dos resultados son iguales o consecutivos.

Resultados iguales: hay 6 pares, uno por cada cara.

Resultados consecutivos: los pares $(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)$ y sus cinco simétricos, en total 10.

$\text{casos desfavorables}=6+10=16$

$\text{casos favorables}=36-16=20$

$P(L)={\displaystyle \frac{20}{36}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$

Se puede comprobar el recuento en la tabla de doble entrada, marcando las casillas en que gana Laura:

$i\mathrm{\backslash }j$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$			L	L	L	L
$2$				L	L	L
$3$	L				L	L
$4$	L	L				L
$5$	L	L	L
$6$	L	L	L	L

La probabilidad de que gane Laura es ${\displaystyle \frac{5}{9}}\approx \mathrm{0,5556}$: pese a tirar en segundo lugar, la regla la favorece.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{jugado}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{ganado}}\mathbf{\text{Laura,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Jorge}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sacado}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{6?}}\mathbf{\text{(1.25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es una probabilidad condicionada. El espacio muestral se reduce a los 20 casos en que gana Laura, y hay que contar cuántos de ellos tienen un 6 en la tirada de Jorge.

Si $i=6$, Laura gana cuando $\mathrm{\mid }6-j\mathrm{\mid }\ge 2$, es decir, cuando $j\le 4$: cuatro casos.

$P(J_6\mathrm{/}L)={\displaystyle \frac{\text{casos con }i=6\text{ en que gana Laura}}{\text{casos en que gana Laura}}}={\displaystyle \frac{4}{20}}$

$P(J_6\mathrm{/}L)={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$

Sabiendo que ha ganado Laura, la probabilidad de que Jorge hubiera sacado un 6 es $\mathrm{0,2}$, mayor que el $\frac{1}{6}\approx \mathrm{0,167}$ de partida: con un 6 en la mano de Jorge, a Laura le resulta más fácil que la diferencia pase de 1.