Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Nuestra casa está en la ladera de un monte, justo donde comienza el bosque de pinos. Un día medimos el que tenemos más cerca, y resultó tener una altura de 17.26 metros. Le preguntamos a nuestro amigo guardabosque si es un valor representativo, y nos dijo:

«Qué casualidad, hemos calculado un intervalo al 90 % de confianza para la media de la altura, y el extremo superior es 17.26 m. Hemos supuesto que la altura tiene distribución normal y que la desviación típica es 6.93, la habitual en estas repoblaciones, y hemos medido 100 árboles para calcularlo».

¿Cuál fue el promedio de la altura de los pinos de la muestra, y qué intervalo de confianza se obtuvo por tanto? (2.5 puntos)

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{promedio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pinos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{tanto?}}\mathbf{\text{(2.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

De lo que cuenta el guardabosque se leen todos los datos del problema: la población es normal con $\sigma =\mathrm{6,93}$ m, la muestra tiene $n=100$ árboles, el nivel de confianza es del 90 % y el extremo superior del intervalo vale 17,26 m.

El intervalo de confianza para la media es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

de modo que el extremo superior es la media muestral más el error. Se calcula primero el valor crítico del 90 % de confianza:

$1-\alpha =\mathrm{0,90}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,05}\Rightarrow P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$



$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{6,93}}{\sqrt{100}}}=\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{0,693}$

$E\approx \mathrm{1,14}$

Ahora se despeja la media muestral del extremo superior:

$\bar{x}+E=\mathrm{17,26}\Rightarrow \bar{x}=\mathrm{17,26}-\mathrm{1,14}=\mathrm{16,12}$

El promedio de la altura de los cien pinos medidos fue de 16,12 metros, y el intervalo de confianza al 90 % obtenido es $(\mathrm{16,12};\mathrm{17,26})$ metros. El pino que hay junto a la casa, de 17,26 m, queda justo en el borde superior del intervalo: es un ejemplar alto, pero no descabellado para esa repoblación.