Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla y León · 2022

Un rayo de luz incide desde el aire sobre la superficie lateral de un largo bloque rectangular de vidrio ($n_{\text{V}}=\mathrm{1,62}$), sobre el que existe una película de agua ($n_{\text{A}}=\mathrm{1,33}$). Determine el máximo valor del ángulo $\alpha$ para que el rayo se refleje completamente en la cara superior del bloque.

El rayo entra por la cara lateral del bloque, que es vertical, así que la normal a esa cara es horizontal y el ángulo $\alpha$ es el ángulo de incidencia. Dentro del vidrio el rayo forma con esa misma horizontal un ángulo $\beta$, dado por la ley de Snell:

$n_{\text{aire}}\mathrm{sen}\alpha =n_V\mathrm{sen}\beta$

Ese rayo llega después a la cara SUPERIOR del bloque, cuya normal es vertical. El ángulo que forma con ella es el complementario:

$\widehat{\mathrm{ı}}={90}^{\circ }-\beta$

Para que se refleje completamente en la cara superior, ese ángulo tiene que superar al ángulo límite de la interfase vidrio-agua:

$\mathrm{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L={\displaystyle \frac{n_A}{n_V}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}}{\mathrm{1,62}}}=\mathrm{0,821}\Rightarrow {\widehat{\mathrm{ı}}}_L={\mathrm{55,2}}^{\circ }$

La condición es entonces:

${90}^{\circ }-\beta \ge {\mathrm{55,2}}^{\circ }\Rightarrow \beta \le {\mathrm{34,8}}^{\circ }$

Y como $\alpha$ crece con $\beta$, el valor máximo de $\alpha$ es el que corresponde a ese $\beta$ máximo:

$\mathrm{sen}{\alpha }_{\max }=n_V\mathrm{sen}{\mathrm{34,8}}^{\circ }=\mathrm{1,62}\cdot \mathrm{0,571}=\mathrm{0,925}$

${\alpha }_{\max }={\mathrm{67,7}}^{\circ }$

Si el rayo entra con un ángulo mayor de ${\mathrm{67,7}}^{\circ }$ se propaga demasiado inclinado dentro del vidrio, llega a la cara superior con un ángulo menor que el límite y parte de la luz se escapa al agua.