Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2023

Cuando se ilumina un metal con una radiación de longitud de onda ${\lambda }_1=193\text{ nm}$, la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos es 4,14 eV. ¿Cuál sería esta energía si la longitud de onda de la radiación usada fuera ${\lambda }_2=254\text{ nm}$?

Datos: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$; $c_0=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8\text{ m}{\text{s}}^{-1}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

La clave está en que el trabajo de extracción es una propiedad del metal y no cambia al cambiar la luz. Se obtiene con la primera radiación y se reutiliza con la segunda.

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$h{\displaystyle \frac{c_0}{\lambda }}=W_0+E_{c,\max }$





La energía de los fotones de la primera radiación es:

$E_1=h{\displaystyle \frac{c_0}{{\lambda }_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,00}\cdot {10}^8}{193\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{1,03}\cdot {10}^{-18}\text{ J}$

En electronvoltios, para poder restar directamente el dato del enunciado:

$E_1={\displaystyle \frac{\mathrm{1,03}\cdot {10}^{-18}}{\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{6,44}\text{ eV}$

$W_0=E_1-E_{c,1}=\mathrm{6,44}-\mathrm{4,14}=\mathrm{2,30}\text{ eV}$

Con la segunda radiación, de mayor longitud de onda y por tanto menos energética:

$E_2=h{\displaystyle \frac{c_0}{{\lambda }_2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,00}\cdot {10}^8}{254\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{7,83}\cdot {10}^{-19}\text{ J}=\mathrm{4,89}\text{ eV}$

$E_{c,2}=E_2-W_0=\mathrm{4,89}-\mathrm{2,30}=\mathrm{2,59}\text{ eV}$

La energía cinética máxima baja a 2,59 eV, es decir, a $\mathrm{4,15}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$. Sigue habiendo emisión porque la energía del fotón supera al trabajo de extracción, pero los electrones salen bastante más lentos.