Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

Calcule la longitud de onda de de Broglie para un electrón cuya energía cinética es 300 eV.

Datos: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$; $m_{\text{e}}=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

La longitud de onda de De Broglie es inversamente proporcional a la cantidad de movimiento:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}$

Como el electrón se mueve a velocidades no relativistas, su cantidad de movimiento se obtiene de la energía cinética:

$E_c={\displaystyle \frac{p^2}{2m_e}}\Rightarrow p=\sqrt{2m_e{E}_c}$

Se pasa primero la energía a julios:

$E_c=300\text{ eV}\cdot \mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}{\displaystyle \frac{\text{J}}{\text{eV}}}=\mathrm{4,80}\cdot {10}^{-17}\text{ J}$

$p=\sqrt{2\cdot \mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{4,80}\cdot {10}^{-17}}=\mathrm{9,35}\cdot {10}^{-24}\text{ kg m/s}$

Y por fin:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{9,35}\cdot {10}^{-24}}}=\mathrm{7,09}\cdot {10}^{-11}\text{ m}$

La longitud de onda asociada es de $\mathrm{7,09}\cdot {10}^{-11}\text{ m}$, es decir, 0,071 nm. Es del orden de la distancia entre átomos en un cristal, y por eso los electrones de unos cientos de electronvoltios se difractan en ellos: es el fundamento del microscopio electrónico.