Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En un gimnasio, el 52 % de los socios son hombres y el resto son mujeres. Entre los socios, el 35 % de los hombres practica «spinning» así como el 60 % de las mujeres. Si elegimos un socio al azar,

a) Calcular la probabilidad de que practique «spinning».
b) Si el socio elegido no practica «spinning», obtener la probabilidad de que sea una mujer.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{practique}}\mathbf{\text{«spinning».}}$

Se elige un socio al azar y se nombran los sucesos:

$H\equiv$ el socio elegido es hombre,
$M\equiv$ el socio elegido es mujer,
$S\equiv$ el socio elegido practica spinning.

El 52 % de los socios son hombres y el resto mujeres:

$P(H)=\mathrm{0,52};P(M)=1-\mathrm{0,52}=\mathrm{0,48}$

Practican spinning el 35 % de los hombres y el 60 % de las mujeres:

$P(S\mathrm{/}H)=\mathrm{0,35};P(S\mathrm{/}M)=\mathrm{0,60}$

Los sucesos $H$ y $M$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(S)=P(H)\cdot P(S\mathrm{/}H)+P(M)\cdot P(S\mathrm{/}M)$

$P(S)=\mathrm{0,52}\cdot \mathrm{0,35}+\mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,182}+\mathrm{0,288}=\mathrm{0,47}$

La probabilidad de que el socio elegido practique spinning es de 0,47.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{socio}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{practica}}\mathbf{\text{«spinning»,}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer.}}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad del suceso contrario:

$P(\bar{S})=1-\mathrm{0,47}=\mathrm{0,53}$

$P(M\mathrm{/}\bar{S})={\displaystyle \frac{P(M)\cdot P(\bar{S}\mathrm{/}M)}{P(\bar{S})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,40}}{\mathrm{0,53}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,192}}{\mathrm{0,53}}}$

$P(M\mathrm{/}\bar{S})={\displaystyle \frac{96}{265}}\approx \mathrm{0,3623}$

Si el socio no practica spinning, la probabilidad de que sea mujer es ${\displaystyle \frac{96}{265}}\approx \mathrm{0,3623}$, menor que el 48 % que representan las mujeres en el total, como cabía esperar por ser el grupo que más practica esa actividad.