Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Para ir a clase, un estudiante utiliza su coche el 70 % de los días, mientras que va en autobús el resto de los días. Cuando utiliza su coche, llega tarde el 20 % de los días, mientras que si va en autobús llega a tiempo el 10 % de los días. Elegido un día al azar:

a) Calcular la probabilidad de que el estudiante llegue tarde.
b) Si ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{tarde.}}$

Se elige un día al azar y se nombran los sucesos:

$C\equiv$ el estudiante utiliza su coche,
$A\equiv$ el estudiante va en autobús,
$T\equiv$ el estudiante llega tarde.

Usa el coche el 70 % de los días y el autobús el resto:

$P(C)=\mathrm{0,70};P(A)=1-\mathrm{0,70}=\mathrm{0,30}$

Con el coche llega tarde el 20 % de los días. En autobús el enunciado da el porcentaje de días que llega a tiempo, así que hay que pasar al contrario:

$P(T\mathrm{/}C)=\mathrm{0,20};P(T\mathrm{/}A)=1-\mathrm{0,10}=\mathrm{0,90}$

Los sucesos $C$ y $A$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(T)=P(C)\cdot P(T\mathrm{/}C)+P(A)\cdot P(T\mathrm{/}A)$

$P(T)=\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,20}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,90}=\mathrm{0,14}+\mathrm{0,27}=\mathrm{0,41}$

La probabilidad de que el estudiante llegue tarde es de 0,41.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{llegado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{tiempo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{venido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{autob}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{s?}}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad del suceso contrario:

$P(\bar{T})=1-\mathrm{0,41}=\mathrm{0,59}$

$P(A\mathrm{/}\bar{T})={\displaystyle \frac{P(A)\cdot P(\bar{T}\mathrm{/}A)}{P(\bar{T})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,10}}{\mathrm{0,59}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}}{\mathrm{0,59}}}$

$P(A\mathrm{/}\bar{T})={\displaystyle \frac{3}{59}}\approx \mathrm{0,0508}$

Si ha llegado a tiempo, la probabilidad de que haya venido en autobús es de solo ${\displaystyle \frac{3}{59}}\approx \mathrm{0,0508}$: el autobús le hace llegar tarde casi siempre, así que los días puntuales son casi todos días de coche.