Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una panadería hornean todos los días tartas y bizcochos que venden a 10 euros y 6 euros, respectivamente. Para fabricar una tarta se necesitan 400 gramos de harina y 200 de azúcar, mientras que para un bizcocho se utilizan 300 gramos de harina y 100 de azúcar. Los dueños de la panadería saben que diariamente tienen que hornear, al menos, 6 bizcochos. Para la producción de hoy de tartas y bizcochos se dispone de 6 kg de harina y 2.4 kg de azúcar.

Utilizando técnicas de programación lineal, determinar la cantidad de cada uno de los productos que hay que hornear hoy para obtener los máximos ingresos. (3 puntos)

Se llama $x$ al número de tartas e $y$ al número de bizcochos que se hornean hoy.

Se ordena la información en una tabla, pasando los kilogramos a gramos.

$\text{Producto}$	$\text{Harina (g)}$	$\text{Az}\acute{\text{u}}\text{car (g)}$	$\text{Ingreso (euros)}$
Tarta ($x$)	$400x$	$200x$	$10x$
Bizcocho ($y$)	$300y$	$100y$	$6y$
Disponible	$6000$	$2400$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el ingreso:

$z=f(x,y)=10x+6y$

Las restricciones son:

Harina: $400x+300y\le 6000$, que dividiendo entre 100 queda $4x+3y\le 60$.

Azúcar: $200x+100y\le 2400$, que dividiendo entre 100 queda $2x+y\le 24$.

Hay que hornear al menos 6 bizcochos: $y\ge 6$.

El número de tartas no puede ser negativo: $x\ge 0$.

$\{\begin{array}{l}4x+3y\le 60\\ 2x+y\le 24\\ y\ge 6\\ x\ge 0\end{array}$

Se representan las rectas frontera con sus tablas de valores. La región factible es la zona coloreada en azul.





$4x+3y=60$

$x$	$y={\displaystyle \frac{60-4x}{3}}$
0	20
6	12

$2x+y=24$

$x$	$y=24-2x$
6	12
9	6

Los vértices son:

Vértice $A$: corte de $x=0$ con $y=6$ $\Rightarrow A(0,6)$.

Vértice $B$: corte de $y=6$ con $2x+y=24$.

$2x+6=24\Rightarrow x=9\Rightarrow B(9,6)$

Vértice $C$: corte de $2x+y=24$ con $4x+3y=60$. De la primera, $y=24-2x$:

$4x+3(24-2x)=60\Rightarrow 4x+72-6x=60\Rightarrow -2x=-12\Rightarrow x=6$

$y=24-12=12\Rightarrow C(6,12)$

Vértice $D$: corte de $4x+3y=60$ con $x=0$ $\Rightarrow y=20\Rightarrow D(0,20)$.

El recinto es acotado y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en un vértice. Se valora en los cuatro:

$f(A)=f(0,6)=36$

$f(B)=f(9,6)=90+36=126$

$f(C)=f(6,12)=60+72=132$

$f(D)=f(0,20)=120$

El máximo se alcanza en el vértice $C(6,12)$, donde el azúcar se agota por completo:

$200\cdot 6+100\cdot 12=1200+1200=2400$ gramos.

Hay que hornear 6 tartas y 12 bizcochos, con un ingreso máximo de 132 euros.