Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El tiempo que tarda un auditor en revisar un expediente se ajusta a una distribución normal con media 30 minutos y desviación típica de 10 minutos. Si al principio de una semana se le entregan 75 expedientes:

a) Calcular la probabilidad de que le dé tiempo a revisar los 75 expedientes si en esa semana el auditor trabaja 35 horas (2100 minutos).
b) Calcular la probabilidad de que el tiempo medio dedicado a revisar los 75 expedientes esté entre 28 y 33 minutos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{revisar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{75}}\mathbf{\text{expedientes}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{auditor}}\mathbf{\text{trabaja}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{(2100}}\mathbf{\text{minutos).}}$

El tiempo de un expediente sigue una $N(30,10)$. El tiempo total de los 75 expedientes es la suma de 75 variables independientes con esa distribución, así que

$T\sim N(n\mu ,\sigma \sqrt{n})=N(75\cdot 30,10\sqrt{75})=N(2250;\mathrm{86,60})$

Que le dé tiempo significa que el total no pase de 2100 minutos. Se tipifica:

$P(T\le 2100)=P(Z\le {\displaystyle \frac{2100-2250}{\mathrm{86,60}}})=P(Z\le {\displaystyle \frac{-150}{\mathrm{86,60}}})=P(Z\le -\mathrm{1,73})$



Como la tabla solo da valores positivos, se usa la simetría de la campana:

$P(Z\le -\mathrm{1,73})=1-P(Z\le \mathrm{1,73})=1-\mathrm{0,9582}=\mathrm{0,0418}$

La probabilidad de que le dé tiempo a revisar los 75 expedientes es de solo 0,0418, es decir, un 4,18 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{dedicado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{revisar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{75}}\mathbf{\text{expedientes}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{28}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{33}}\mathbf{\text{minutos.}}$

Ahora la variable que interesa es la media muestral, que sigue

$\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})=N(30,{\displaystyle \frac{10}{\sqrt{75}}})=N(30;\mathrm{1,15})$

Se tipifican los dos extremos:

$z_1={\displaystyle \frac{28-30}{\mathrm{1,15}}}=-\mathrm{1,73};z_2={\displaystyle \frac{33-30}{\mathrm{1,15}}}=\mathrm{2,60}$



$P(28<\bar{X}<33)=P(-\mathrm{1,73}<Z<\mathrm{2,60})=P(Z<\mathrm{2,60})-P(Z<-\mathrm{1,73})$

$P(Z<\mathrm{2,60})=\mathrm{0,9953};P(Z<-\mathrm{1,73})=1-\mathrm{0,9582}=\mathrm{0,0418}$

$P(28<\bar{X}<33)=\mathrm{0,9953}-\mathrm{0,0418}=\mathrm{0,9535}$

La probabilidad de que el tiempo medio esté entre 28 y 33 minutos es de 0,9535.