Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa de diseño ha comprado dos impresoras 3D para imprimir figuras y fichas para juegos de mesa. La primera impresora puede trabajar hasta 300 horas y necesita 6 horas para imprimir cada figura y 5 horas para cada ficha. La segunda impresora puede trabajar hasta 200 horas y necesita 2 horas para hacer cada figura y 5 horas para cada ficha. El beneficio neto que obtiene la empresa por imprimir cada figura es de 1 euro mientras que el beneficio neto que obtiene por imprimir cada ficha es de 1.5 euros.

Si el número máximo de figuras ha de ser 25, calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas figuras y fichas ha de imprimir para obtener el máximo beneficio neto. ¿Cuál es ese beneficio neto máximo? (3 puntos)

Se llama $x$ al número de figuras e $y$ al número de fichas que se imprimen.

Se ordena la información en una tabla.

$\text{Pieza}$	$\text{Impresora 1 (h)}$	$\text{Impresora 2 (h)}$	$\text{Beneficio (euros)}$
Figura ($x$)	$6x$	$2x$	$x$
Ficha ($y$)	$5y$	$5y$	$\mathrm{1,5}y$
Disponible	$300$	$200$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio neto:

$z=f(x,y)=x+\mathrm{1,5}y$

Las restricciones son:

La primera impresora trabaja como mucho 300 horas $\Rightarrow$ $6x+5y\le 300$.

La segunda trabaja como mucho 200 horas $\Rightarrow$ $2x+5y\le 200$.

El número máximo de figuras es 25 $\Rightarrow$ $x\le 25$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

$\{\begin{array}{l}6x+5y\le 300\\ 2x+5y\le 200\\ x\le 25\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Se representan las rectas frontera con sus tablas de valores. La región factible es la zona coloreada en azul.





$6x+5y=300$

$x$	$y={\displaystyle \frac{300-6x}{5}}$
0	60
25	30

$2x+5y=200$

$x$	$y={\displaystyle \frac{200-2x}{5}}$
0	40
25	30

Los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: corte de $y=0$ con $x=25$ $\Rightarrow A(25,0)$.

Vértice $B$: corte de $x=25$ con $2x+5y=200$.

$50+5y=200\Rightarrow 5y=150\Rightarrow y=30\Rightarrow B(25,30)$

Es un punto notable, porque también está sobre la otra recta:

$6\cdot 25+5\cdot 30=150+150=300$

es decir, las dos impresoras trabajan exactamente sus horas tope.

Vértice $C$: corte de $2x+5y=200$ con $x=0$.

$5y=200\Rightarrow y=40\Rightarrow C(0,40)$

El recinto es acotado y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en un vértice. Se valora en los cuatro:

$f(O)=f(0,0)=0$

$f(A)=f(25,0)=25$

$f(B)=f(25,30)=25+\mathrm{1,5}\cdot 30=25+45=70$

$f(C)=f(0,40)=\mathrm{1,5}\cdot 40=60$

El máximo se alcanza en el vértice $B(25,30)$.

Hay que imprimir 25 figuras y 30 fichas, y el beneficio neto máximo es de 70 euros.