Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un supermercado tiene almacenados 100 botes de alubias y 150 botes de garbanzos. Para su venta organiza dichos productos en dos lotes, A y B. La venta de un lote A, que contiene 1 bote de alubias y 3 botes de garbanzos, produce un beneficio de 3 euros. La venta de un lote B, que contiene 2 botes de alubias y uno de garbanzos, produce un beneficio de 2 euros. Además, desea vender al menos 10 lotes tipo A y al menos 15 lotes del tipo B.

Utilizando técnicas de programación lineal, calcular cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar el beneficio. ¿A cuánto asciende ese beneficio máximo? (3 puntos)

Se llama $x$ al número de lotes del tipo A e $y$ al número de lotes del tipo B que se venden.

Se ordena la información en una tabla.

$\text{Lote}$	$\text{Alubias}$	$\text{Garbanzos}$	$\text{Beneficio (euros)}$
A ($x$)	$x$	$3x$	$3x$
B ($y$)	$2y$	$y$	$2y$
Almacenados	$100$	$150$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$z=f(x,y)=3x+2y$

Las restricciones son:

Alubias: $x+2y\le 100$.

Garbanzos: $3x+y\le 150$.

Se quieren vender al menos 10 lotes de A y al menos 15 de B: $x\ge 10$, $y\ge 15$.

$\{\begin{array}{l}x+2y\le 100\\ 3x+y\le 150\\ x\ge 10\\ y\ge 15\end{array}$

Se representan las rectas frontera con sus tablas de valores. La región factible es la zona coloreada en azul.





$x+2y=100$

$x$	$y={\displaystyle \frac{100-x}{2}}$
10	45
40	30

$3x+y=150$

$x$	$y=150-3x$
40	30
45	15

Los vértices son:

Vértice $A$: corte de $x=10$ con $y=15$ $\Rightarrow A(10,15)$.

Vértice $B$: corte de $y=15$ con $3x+y=150$.

$3x+15=150\Rightarrow x=45\Rightarrow B(45,15)$

Vértice $C$: corte de $3x+y=150$ con $x+2y=100$. De la primera, $y=150-3x$:

$x+2(150-3x)=100\Rightarrow x+300-6x=100\Rightarrow -5x=-200\Rightarrow x=40$

$y=150-120=30\Rightarrow C(40,30)$

Vértice $D$: corte de $x+2y=100$ con $x=10$.

$10+2y=100\Rightarrow y=45\Rightarrow D(10,45)$

El recinto es acotado y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en un vértice. Se valora en los cuatro:

$f(A)=f(10,15)=30+30=60$

$f(B)=f(45,15)=135+30=165$

$f(C)=f(40,30)=120+60=180$

$f(D)=f(10,45)=30+90=120$

El máximo se alcanza en el vértice $C(40,30)$, donde además se agotan las dos existencias:

$40+2\cdot 30=100$ botes de alubias y $3\cdot 40+30=150$ botes de garbanzos.

Hay que vender 40 lotes del tipo A y 30 del tipo B, con un beneficio máximo de 180 euros.