Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

¿Qué probabilidad hay de que coincida algún día de cumpleaños en un grupo de tres amigas que no son hermanas? Considerar años no bisiestos para el cálculo. (1 punto)

Se considera un año no bisiesto, de 365 días, y se supone que cualquier día es igual de probable como fecha de cumpleaños. Las tres amigas no son hermanas, así que sus cumpleaños son independientes.

El suceso «coincide algún cumpleaños» es complicado de contar directamente, porque puede coincidir una pareja o las tres. Conviene pasar al suceso contrario:

$A\equiv$ coincide algún cumpleaños, $\bar{A}\equiv$ las tres cumplen años en días distintos.

$P(A)=1-P(\bar{A})$

Para contar los casos posibles, cada amiga puede cumplir cualquiera de los 365 días:

$365\cdot 365\cdot 365={365}^3$

Para los casos favorables a $\bar{A}$, la primera amiga puede cumplir cualquier día, la segunda cualquiera de los 364 restantes y la tercera cualquiera de los 363 que quedan:

$365\cdot 364\cdot 363$

Por la regla de Laplace:

$P(\bar{A})={\displaystyle \frac{365\cdot 364\cdot 363}{{365}^3}}={\displaystyle \frac{364\cdot 363}{{365}^2}}={\displaystyle \frac{132132}{133225}}\approx \mathrm{0,9918}$

$P(A)=1-{\displaystyle \frac{132132}{133225}}={\displaystyle \frac{1093}{133225}}\approx \mathrm{0,0082}$

La probabilidad de que coincida algún día de cumpleaños entre las tres amigas es de ${\displaystyle \frac{1093}{133225}}\approx \mathrm{0,0082}$, es decir, apenas un 0,82 %.