Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral con $P(B)={\displaystyle \frac{3}{5}}$; $P(\bar{A}\cup \bar{B})={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Calcular $P(A\cap B)$. (1 punto)

Se parte de la relación entre el suceso $\bar{A}\cup \bar{B}$ y el suceso $A\cap B$, que dan las leyes de De Morgan:

$\bar{A}\cup \bar{B}=\overline{A\cap B}$

Es decir, que no ocurra $A$ o que no ocurra $B$ es exactamente lo contrario de que ocurran los dos a la vez.

Por tanto, las dos probabilidades suman 1:

$P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-P(A\cap B)$

Se despeja lo que se pide y se sustituye el dato:

$P(A\cap B)=1-P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

La probabilidad pedida es $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$.

Obsérvese que el dato $P(B)={\displaystyle \frac{3}{5}}$ no hace falta para este cálculo; sirve solo para comprobar que la situación es coherente, ya que $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{4}}\le {\displaystyle \frac{3}{5}}=P(B)$, como debe ocurrir siempre que un suceso está contenido en otro.