Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

En los estudios realizados sobre un tipo de test de antígenos para detectar el SARS-COV-2 en cierta población, la probabilidad de que una persona enferma obtenga un resultado positivo es de 0.97, mientras que la probabilidad de que una persona sana obtenga un resultado negativo es 0.90. En el momento de probar este tipo de test de antígenos, la probabilidad de que una persona esté enferma en esa población es 0.04. Si se elige una persona al azar de esa población y se le realiza este tipo de test de antígenos,

a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida obtenga un resultado positivo.
b) Si el resultado del test es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté enferma con SARS-COV-2?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{positivo.}}$

Se elige una persona al azar de esa población y se nombran los sucesos:

$E\equiv$ la persona elegida está enferma,
$\bar{E}\equiv$ la persona elegida está sana,
$+\equiv$ el test da positivo.

La probabilidad de estar enfermo es 0,04:

$P(E)=\mathrm{0,04};P(\bar{E})=\mathrm{0,96}$

Una persona enferma da positivo con probabilidad 0,97 y una persona sana da negativo con probabilidad 0,90, de modo que da positivo con probabilidad $1-\mathrm{0,90}=\mathrm{0,10}$:

$P(+\mathrm{/}E)=\mathrm{0,97};P(+\mathrm{/}\bar{E})=\mathrm{0,10}$

Los sucesos $E$ y $\bar{E}$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(+)=P(E)\cdot P(+\mathrm{/}E)+P(\bar{E})\cdot P(+\mathrm{/}\bar{E})$

$P(+)=\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,97}+\mathrm{0,96}\cdot \mathrm{0,10}=\mathrm{0,0388}+\mathrm{0,096}=\mathrm{0,1348}$

La probabilidad de obtener un resultado positivo es de 0,1348.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{positivo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{enferma}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{SARS-COV-2?}}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(E\mathrm{/}+)={\displaystyle \frac{P(E)\cdot P(+\mathrm{/}E)}{P(+)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,97}}{\mathrm{0,1348}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0388}}{\mathrm{0,1348}}}$

$P(E\mathrm{/}+)={\displaystyle \frac{97}{337}}\approx \mathrm{0,2878}$

Si el test da positivo, la probabilidad de estar realmente enfermo es de solo ${\displaystyle \frac{97}{337}}\approx \mathrm{0,2878}$: como la enfermedad es poco frecuente, la mayoría de los positivos son falsos positivos de personas sanas.