Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica dos tipos de máquinas, A y B. Para satisfacer toda la demanda, debe producir, mensualmente, al menos 6 unidades del tipo A y como mucho 15 unidades del tipo B. El coste de fabricación es de 500 euros por cada unidad de tipo A y 300 euros por unidad de tipo B, sin que puedan superase los 12000 euros mensuales en la fabricación total de ambos tipos.

Sabiendo que el beneficio por unidad vendida de tipo A es 250 euros y por unidad vendida de tipo B es 200 euros, determinar, utilizando técnicas de programación lineal, el número de unidades de cada tipo de máquina que se han de fabricar mensualmente para obtener el beneficio máximo de su venta. ¿A cuánto asciende ese beneficio? (3 puntos)

Se llama $x$ al número de máquinas del tipo A e $y$ al número de máquinas del tipo B que se fabrican cada mes.

Se ordena la información en una tabla.

$\text{Tipo de m}\acute{\text{a}}\text{quina}$	$\text{Coste (euros)}$	$\text{Beneficio (euros)}$
A ($x$)	$500x$	$250x$
B ($y$)	$300y$	$200y$
Totales	$500x+300y$	$250x+200y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio mensual:

$z=f(x,y)=250x+200y$

Las restricciones son:

Se deben producir al menos 6 unidades del tipo A $\Rightarrow$ $x\ge 6$.

Como mucho 15 unidades del tipo B $\Rightarrow$ $y\le 15$.

El coste total no puede superar los 12000 euros $\Rightarrow$ $500x+300y\le 12000$, que simplificando entre 100 queda $5x+3y\le 120$.

El número de máquinas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $y\ge 0$.

El sistema de restricciones es

$\{\begin{array}{l}5x+3y\le 120\\ x\ge 6\\ 0\le y\le 15\end{array}$

Se representan las rectas frontera con sus tablas de valores. La región factible es la zona coloreada en azul.





$5x+3y=120$

$x$	$y={\displaystyle \frac{120-5x}{3}}$
15	15
24	0

$x=6$ (recta vertical)
$y=15$ (recta horizontal)










Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$: corte de $x=6$ con $y=0$ $\Rightarrow A(6,0)$.

Vértice $B$: corte de $y=0$ con $5x+3y=120$.

$5x=120\Rightarrow x=24\Rightarrow B(24,0)$

Vértice $C$: corte de $y=15$ con $5x+3y=120$.

$5x+45=120\Rightarrow 5x=75\Rightarrow x=15\Rightarrow C(15,15)$

Vértice $D$: corte de $x=6$ con $y=15$ $\Rightarrow D(6,15)$.

El recinto es acotado y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en uno de los vértices. Se valora en los cuatro:

$f(A)=f(6,0)=250\cdot 6=1500$

$f(B)=f(24,0)=250\cdot 24=6000$

$f(C)=f(15,15)=250\cdot 15+200\cdot 15=3750+3000=6750$

$f(D)=f(6,15)=250\cdot 6+200\cdot 15=1500+3000=4500$

El máximo se alcanza en el vértice $C(15,15)$, donde además el coste es exactamente el tope disponible:

$500\cdot 15+300\cdot 15=7500+4500=12000$ euros.

Hay que fabricar 15 máquinas del tipo A y 15 del tipo B, y el beneficio máximo mensual es de 6750 euros.