Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Navarra · 2020

Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos uniformes. Carga moviéndose perpendicularmente al campo. Cálculo del radio y período de la órbita. Carga moviéndose con un cierto ángulo respecto al campo (2,5 puntos)

$\mathbf{\text{Movimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culas}}\mathbf{\text{cargadas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{campos}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ticos}}\mathbf{\text{uniformes.}}\mathbf{\text{Carga}}\mathbf{\text{movi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{perpendicularmente}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{campo.}}\mathbf{\text{C}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{Carga}}\mathbf{\text{movi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cierto}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$










Sobre una carga que se mueve dentro de un campo magnético actúa la fuerza de Lorentz:

$\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})$

Al ser un producto vectorial, la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, y de ahí se sigue todo lo demás.





En particular, su trabajo es nulo: la fuerza magnética no puede cambiar el módulo de la velocidad ni la energía cinética de la partícula, solo curvar su trayectoria.

$\mathbf{\text{Carga}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{campo}}$

Si $\vec{v}\perp \vec{B}$, el módulo de la fuerza es constante:

$F=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB$

y siempre perpendicular a la velocidad: es exactamente una fuerza centrípeta, así que la trayectoria es una circunferencia. Igualando con la expresión de la fuerza centrípeta:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

El radio crece con la cantidad de movimiento de la partícula y disminuye con la carga y con el campo. El periodo se obtiene de la longitud de la circunferencia:

$T={\displaystyle \frac{2\pi R}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi m}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

y resulta $\mathbf{\text{independiente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}$: todas las partículas iguales tardan lo mismo en dar una vuelta, vayan deprisa o despacio. Es el principio del ciclotrón.

$\mathbf{\text{Carga}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{cualquiera}}$

Si la velocidad forma un ángulo $\theta$ con el campo, se descompone en dos:

$v_{\parallel }=v\cos \theta v_{\perp }=v\mathrm{sen}\theta$

La componente paralela no produce fuerza, porque el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo, y se conserva: da un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección del campo. La componente perpendicular produce el movimiento circular anterior, ahora de radio:

$R={\displaystyle \frac{mv\mathrm{sen}\theta }{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

La composición de los dos es un movimiento $\mathbf{\text{helicoidal}}$, con el eje de la hélice paralelo al campo y paso:

$p=v_{\parallel }T={\displaystyle \frac{2\pi mv\cos \theta }{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

Los dos casos anteriores son los extremos de este: con $\theta ={90}^{\circ }$ la hélice se cierra en una circunferencia y con $\theta =0$ se estira en una recta.