Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Navarra · 2022

(A) Explicar la reflexión total y el ángulo límite. (1,25 puntos)

(B) Una fibra óptica está compuesta por dos materiales, el núcleo con índice de refracción de 1,48 y el recubrimiento con un índice de 1,46. Los rayos que penetren en la fibra desde el aire ($n=1$) no deben salir al exterior, con lo cual estarán contenidos en un cono, llamado cono de aceptación, cuyo ángulo ($\alpha$) lo delimita el ángulo límite en su interior.



a) Hallar el valor del ángulo límite del núcleo. (0,5 puntos)
b) Hallar el ángulo ($\alpha$) del cono de aceptación. (0,5 puntos)
c) Si la frecuencia del rayo incidente, en aire, es de $6\cdot {10}^{14}$ Hz, hallar la frecuencia y la longitud de onda del rayo en el núcleo, $n=\mathrm{1,48}$. (0,25 puntos)

Dato: $c=3\cdot {10}^{8}m{s}^{-1}$

$\mathbf{\text{(A)}}\mathbf{\text{Explicar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$



Cuando la luz pasa de un medio a otro menos refringente, el rayo refractado se aleja de la normal. Al aumentar el ángulo de incidencia llega un momento en que ese rayo saldría rasante a la superficie, y por encima de ese ángulo ya no hay refracción: toda la luz vuelve al primer medio. Eso es la $\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total}}$.

El $\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}$ es el ángulo de incidencia que corresponde a un ángulo de refracción de ${90}^{\circ }$:

$n_1\mathrm{sen}\widehat{\lambda }=n_2\mathrm{sen}{90}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{sen}\widehat{\lambda }={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}$

Solo existe si $n_1>n_2$, es decir, si la luz va del medio más refringente al menos refringente.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\mathrm{sen}\widehat{\lambda }={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,46}}{\mathrm{1,48}}}=\mathrm{0,9865}$

$\widehat{\lambda }={\mathrm{80,6}}^{\circ }$

El ángulo límite del núcleo es de ${\mathrm{80,6}}^{\circ }$: los rayos han de llegar a la pared casi rasantes para quedar confinados, que es justo lo que consigue la geometría alargada de la fibra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{(}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{)}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cono}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aceptaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Un rayo que entra desde el aire formando el ángulo $\alpha$ con el eje se refracta en la cara de entrada:

$n_{\text{aire}}\mathrm{sen}\alpha =n_1\mathrm{sen}\widehat{r}$

y llega a la pared del núcleo con el ángulo complementario, porque las dos superficies son perpendiculares:

$\widehat{\mathrm{ı}}={90}^{\circ }-\widehat{r}$

En el caso límite $\widehat{\mathrm{ı}}=\widehat{\lambda }={\mathrm{80,6}}^{\circ }$, de modo que:

$\widehat{r}={90}^{\circ }-{\mathrm{80,6}}^{\circ }={\mathrm{9,43}}^{\circ }$

$\mathrm{sen}\alpha =\mathrm{1,48}\cdot \mathrm{sen}({\mathrm{9,43}}^{\circ })=\mathrm{0,2425}$

$\alpha ={\mathrm{14,0}}^{\circ }$

El mismo resultado se obtiene directamente con la apertura numérica:

$\mathrm{sen}\alpha =\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\sqrt{{\mathrm{1,48}}^2-{\mathrm{1,46}}^2}=\mathrm{0,2425}$

El cono de aceptación tiene un semiángulo de ${\mathrm{14,0}}^{\circ }$.



La frecuencia la impone el foco emisor y $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{cambia}}$ al pasar de un medio a otro:

$f=6\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Lo que cambia es la velocidad de propagación y, con ella, la longitud de onda:

$v={\displaystyle \frac{c}{n_1}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,48}}}=\mathrm{2,03}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,03}\cdot {10}^8}{6\cdot {10}^{14}}}=\mathrm{3,38}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

En el núcleo la luz vibra con la misma frecuencia, $6\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$, pero su longitud de onda se reduce a $338\text{ nm}$.