Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Navarra · 2024

(A) Reflexión total. Angulo límite (definición, dibujo, ecuaciones). (1,25 puntos)

(B) En un vaso con agua ($n=\mathrm{1,33}$), la luz incide del agua al fondo de vidrio ($n=\mathrm{1,4}$) con un ángulo de ${60}^{\text{o}}$ respecto a la superficie.

a) Hallar el ángulo de refracción en el vidrio. (0,5 puntos)
b) ¿Con qué ángulo debería incidir un rayo desde el agua al vidrio para que no salga al aire ($n=1$) después de atravesar el vidrio? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{(A)}}\mathbf{\text{Reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total.}}\mathbf{\text{Angulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{(definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{dibujo,}}\mathbf{\text{ecuaciones).}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










Cuando la luz pasa de un medio a otro menos refringente, el rayo refractado se aleja de la normal. Al aumentar el ángulo de incidencia llega un momento en que el rayo refractado sale rasante a la superficie; a partir de ahí ya no hay refracción y toda la luz vuelve al primer medio. Ese fenómeno es la $\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total}}$.





El $\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}$ es el ángulo de incidencia para el que el ángulo de refracción vale ${90}^{\circ }$. Aplicando la ley de Snell:

$n_1\mathrm{sen}\widehat{\lambda }=n_2\mathrm{sen}{90}^{\circ }$

$\mathrm{sen}\widehat{\lambda }={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}$

Para que ese ángulo exista el cociente ha de ser menor que 1, es decir, $n_1>n_2$: la reflexión total $\mathbf{\text{solo}}$ se produce yendo del medio más refringente al menos refringente. Es el fenómeno en que se basan la fibra óptica y los prismas de los prismáticos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El enunciado da el ángulo respecto de la superficie, y la ley de Snell se aplica con el ángulo respecto de la normal, que es su complementario:

$\widehat{\mathrm{ı}}={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$

$n_{\text{agua}}\mathrm{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_{\text{vidrio}}\mathrm{sen}\widehat{r}$

$\mathrm{sen}\widehat{r}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{sen}{30}^{\circ }}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{0,475}$

$\widehat{r}={\mathrm{28,4}}^{\circ }$

En el vidrio el rayo viaja formando ${\mathrm{28,4}}^{\circ }$ con la normal, más cerca de ella que en el agua porque el vidrio es más refringente.



Para que no salga al aire tiene que producirse reflexión total en la cara inferior del vidrio. El ángulo límite de esa superficie es:

$\mathrm{sen}\widehat{\lambda }={\displaystyle \frac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{vidrio}}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{0,7143}\Rightarrow \widehat{\lambda }={\mathrm{45,6}}^{\circ }$

Las dos caras del vidrio son paralelas, de modo que el ángulo con el que el rayo llega a la cara inferior es el mismo con el que se refractó al entrar. Se impone entonces que ese ángulo valga como mínimo el ángulo límite y se retrocede a la superficie agua-vidrio:

$n_{\text{agua}}\mathrm{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_{\text{vidrio}}\mathrm{sen}\widehat{\lambda }$

$\mathrm{sen}\widehat{\mathrm{ı}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,4}\cdot \mathrm{0,7143}}{\mathrm{1,33}}}=\mathrm{0,7519}$

$\widehat{\mathrm{ı}}={\mathrm{48,8}}^{\circ }$

Hay que incidir desde el agua con al menos ${\mathrm{48,8}}^{\circ }$ respecto de la normal. Obsérvese que ese es exactamente el ángulo límite de la superficie agua-aire: al ser paralelas las caras del vidrio, la capa intermedia desplaza el rayo pero no influye en si acaba saliendo o no.