Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Navarra · 2023

La figura representa un objeto situado a 4 cm de una lente. Con línea discontinua se ha dibujado la trayectoria de un rayo. $\mathbf{\text{COPIA}}\mathbf{\text{EN}}\mathbf{\text{TU}}\mathbf{\text{CUADERNILLO}}\mathbf{\text{DE}}\mathbf{\text{EXAMEN}}\mathbf{\text{EL}}\mathbf{\text{DIBUJO.}}$ Fíjate que, en horizontal, cada unidad representa 2 cm.

a) $\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{tu}}\mathbf{\text{dibujo}}$, completa el trazado de rayos y dibuja la imagen. Indica qué tipo de lente es y por qué. ¿Cuál es el valor de la distancia focal? (0,5 puntos)
b) Utilizando el valor de la distancia focal y la posición del objeto, $\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{num}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ricamente}}$ la posición y el aumento lateral. (1 punto)
c) Cambiamos la lente y ponemos una lente con el mismo valor de distancia focal, pero divergente. Realiza el trazado de rayos. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathrm{<mrow><mtext\; mathvariant="bold">En</mtext><mtext> </mtext><mtext\; mathvariant="bold">tu</mtext><mtext> </mtext><mtext\; mathvariant="bold">dibujo</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{completa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dibuja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}\mathbf{\text{Indica}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$



El rayo dibujado en el enunciado sale de la punta del objeto paralelo al eje óptico y, tras atravesar la lente, se acerca al eje y lo corta. Eso solo lo hace una $\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente}}$: una divergente lo separaría del eje.

Un rayo que entra paralelo al eje emerge pasando por el foco imagen, de modo que el punto donde el trazo discontinuo corta el eje es $F^{\mathrm{\prime }}$. Leyéndolo en la rejilla, y teniendo en cuenta que cada unidad horizontal son 2 cm, ese corte está a 3 cm de la lente:

$f^{\mathrm{\prime }}=3\text{ cm}$

Para completar el trazado basta añadir el rayo que pasa por el centro óptico, que no se desvía; donde se corta con el anterior está la punta de la imagen, que resulta real, invertida y mayor que el objeto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Utilizando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto,}}\mathrm{<mrow><mtext\; mathvariant="bold">calcular</mtext><mtext> </mtext><mtext\; mathvariant="bold">num</mtext><mover\; accent="true"><mtext\; mathvariant="bold">e</mtext><mo>ˊ</mo></mover><mtext\; mathvariant="bold">ricamente</mtext></mrow>}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aumento}}\mathbf{\text{lateral.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El objeto está a 4 cm a la izquierda de la lente:

$s=-4\text{ cm}{f}^{\mathrm{\prime }}=3\text{ cm}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{-4}}={\displaystyle \frac{4-3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$

$s^{\mathrm{\prime }}=12\text{ cm}$

El aumento lateral es el cociente de las dos abscisas:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{12}{-4}}=-3$

La imagen se forma $12\text{ cm}$ detrás de la lente y es real, invertida y tres veces mayor que el objeto, exactamente donde muere el trazo discontinuo del dibujo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Cambiamos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ponemos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{divergente.}}\mathbf{\text{Realiza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Con la lente divergente la distancia focal imagen cambia de signo:

$f^{\mathrm{\prime }}=-3\text{ cm}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{-3}}+{\displaystyle \frac{1}{-4}}=-{\displaystyle \frac{7}{12}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{1,71}\text{ cm}$

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,71}}{-4}}=\mathrm{0,43}$

Ahora los rayos emergentes divergen y es su prolongación la que se corta: la imagen es virtual, derecha y menor, y queda entre el foco objeto y la lente, del mismo lado que el objeto: